Stor area men liten omkrets rektangel

Av alla rektanglar så har en kvadrat alltid störst area i förhållande till omkretsen 

Mariatherese skrev :

Hej! Hur ska jag tänka när jag vill ha en rektangel som har så stor area som möjligt men med en så liten omktets som möjligt? Någon som kan hjälpa mig? 

Ja du kan resonera dig fram.

Om du istället skulle skapa en valfri geometrisk figur som har så stor area som möjligt med så kort omkrets som möjligt, hur skulle den figuren då se ut?

larsolof skrev :

Hej! Tack för svar! Hur kommer det sig att du just väljer 4*9 och 3*12 och 2*18?

Det var säkert för att de rektanglarna är lätta att rita, eftersom sidorna är heltal.

Men finns det inte en formel för detta?

Mitt exempel är: 

Omkrets: 7m+10m+7m+10m= 34 m

Area: 7*10= 70m2

Men varför? Är det en viss procentuell skillnad som gör uträkningen. Te.x 40 % ökning mellan omkrets och area?

Det går att bevisa att det alltid är en kvadrat som har den största arean för varje omkrets given till en rektangel. Detta lär man sig dock först i Ma2, men en liten grafisk sneak peak:

Låt säga att omkretsen ska vara 24 längdenheter. Kalla sidorna för x och y. Då är $24=2x+2y$. Arean för rektangeln kan betecknas som $A=x\cdot y$. Det är en funktion med två variabler, vilket är svårt att göra något med, men om vi kan substituera y mot något uttryck med x, kan vi rita en graf. 

$24=2x+2y$, då måste alltså $12=x+y \iff y=12-x$. Vi sätter in detta istället för y i vår funktion för arean och får att $A=x(12-x)=12x-x^{2}$. Om du ritar in denna funktion i ett koordinatsystem, ser du att toppen hamnar då x = y (då x = y = 6). Ingen annan area är större, och då har vi bevisat grafiskt att den maximala arean för en rektangel med omkretsen 24 le. är 36 ae. 

I Ma2 kommer ni att göra detta algebraiskt och i mer detalj, men detta är ett lite enklare smakprov. :)

Om jag bara ska utveckla ett resonemang utifrån mitt exempel. Hur förklarar jag varför utan att blanda in grafisk räkning? På en enkel nivå?

Vad menar du med utifrån ditt exempel? Ditt exempel är ju inte en kvadrat utan en rektangel med måtten 7 x 10 cm. Så den har ju inte störst möjlig area i förhållande till sin omkrets. 

Men du kan ju testa några andra mått och gå längre ifrån och närmare en kvadratisk figur och se hur stor arean blir

Ge dig exempelvis en begränsning. De två sidorna som spänner upp rektangeln får max vara 20 centimeter långa tillsammans.

Testa sedan måtten ex. 18x2  , 16x4, 14x6, 12x8 , 11x9, 10x10, 9x11, 8x12 o.s.v. så kan du se att ju närmare du går måtten 10x10, desto större blir arean.

Det kan lägga grunden för ett resonemang

Jag föreslår att vi fortsätter detta i din egen tråd för just denna fråga.

Tack :)

Mattefrågan lyder så här: Du ska bygga en uteplats hemma med så stor area som möjligt men med så liten omkrets som möjligt. Du vill bygga i en rektangulär form då det blir snyggast, vilka mått använder du?

Här är mitt exempel:

Omkrets: 7m+10m+7m+10m= 34 m

Area: 7*10= 70m2

Jag har testat lite olika tal fram och tillbaka och kommit fram till detta tal men min lärare vill att jag ska utveckla mitt resonemang men jag förstår inte riktigt vad hon menar. Och vet  inte riktigt hur jag mer kan utveckla än att säga att jag testat mig fram.

Maria skrev:

Tack :)

Mattefrågan lyder så här: Du ska bygga en uteplats hemma med så stor area som möjligt men med så liten omkrets som möjligt. Du vill bygga i en rektangulär form då det blir snyggast, vilka mått använder du?

Här är mitt exempel:

Omkrets: 7m+10m+7m+10m= 34 m

Area: 7*10= 70m2

Jag har testat lite olika tal fram och tillbaka och kommit fram till detta tal men min lärare vill att jag ska utveckla mitt resonemang men jag förstår inte riktigt vad hon menar. Och vet  inte riktigt hur jag mer kan utveckla än att säga att jag testat mig fram.

 Du har redan en egen tråd för denna fråga.

Stort tack för hjälpen