Stokes

Hej Jocke,

Tanken med uppgiften är att du ska använda Stokes sats.

$\oint_{\gamma} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}=\int_S(\nabla \times \mathbf{F}) \cdot d\mathbf{S}$

En ring på integraltecknet betyder att integrationen sker runt en sluten kurva (eller över en sluten yta). Normalriktningen till $d\mathbf{S}$ ges av den högerorienterade omloppsriktningen för $\gamma$.

Du behöver alltså hålla ordning på genomloppsriktningen.

Börja med att rita upp integrationsområdet, det blir en halvcirkelbåge som begränsas av y-axeln. Märk ut genomloppsriktning och den inneslutna ytan dS.

Beräkna sedan $\nabla \times \mathbf{F}$, där $\mathbf{F}=(z^2, y^2, 2xz)$.

Vad blir alltså $\int_S(\nabla \times \mathbf{F}) \cdot d\mathbf{S}$?

Slutligen noterar du att den sökta integralen inte är en integral utmed hela randkurvan utan endast utmed halvcirkelbågen. Du måste alltså dra ifrån linjeintegralen utmed y-axeln från 1 till -1 (vilket också är en trivial integral, men var noga med genomloppsriktningen).

Till slut kan man kolla att det blir samma resultat utan Stokes med parametriseringen $y=\sin t,\ x=z=(\cos t)/\sqrt{2}$.

Okej så jag ska räkna ut ${\int }_S(\nabla \times F)\times dS$

Som jag ser är ds=$\left|r´\left(t\right)\right|dt$ och F=($z^2,y^2,2xz$)

${\int }_S(\nabla \times (z^2,y^2,2xz)\times \left|r´\left(t\right)\right|dt$

Det är inte kryss ds utan prick ds. Men räkna ut rotationen först så märker du något trevligt.

När jag försökte få ut rotF och hade F=(P,Q,R)=($z^2,y^2,2xz$) fick jag (0,2z-2,0) men jag är inte säker på hur jag ska ta mig vidare härifrån. Jag tror att nästa steg ska bli att sätta in rotF i dubbelintegralen $w=\iint (\nabla \times F)\times nds$

Men jag är osäker på vad n är i denna uppgift.

y-komponenten blir inte 2z-2.

blir det inte $\frac{z^2}{dz}-\frac{2xz}{dx}=2z-2$

Jocke011 skrev :

blir det inte $\frac{z^2}{dz}-\frac{2xz}{dx}=2z-2$

Nej, y-komponenten är $\frac{\partial F_x}{\partial z}-\frac{\partial F_z}{\partial x}=2z-2z=0$ eftersom derivatan av 2xz med avseende på x är 2z.

Okej, nu ser jag misstaget. Nu blir ju rotF=(0,0,0)

Sen ska man väl sätta in rotF och normalen i dubbelintegralen $W={\iint }_{\tau }(0,0,0)\times n\times ds$

men jag är osäker på hur jag får fram normalen

Normalen till vilken yta? I det här fallet spelar det ingen roll eftersom det är noll du ska integrera.

hur ska man gå vidare då man bara har nollor? då noll multiplicerat med nds borde ju allt bli noll

 Ja, du har nu konstaterat att

$\oint \mathbf{F}\cdot \mathrm{d}\mathbf{r}=\int_S (\nabla\times \mathbf{F})\cdot \mathrm{d}\mathbf{S}=0$

Detta är dock linjeintegralen utmed hela randen som innesluter ytan S, dvs cirkelbågen + sträckan utmed y-axeln från y=1 till y=-1. Den sökta integralen är bara linjeintegralen utmed cirkelbågen.

Om du läser mina instruktioner ovan ser du följande text:

"Slutligen noterar du att den sökta integralen inte är en integral utmed hela randkurvan utan endast utmed halvcirkelbågen. Du måste alltså dra ifrån linjeintegralen utmed y-axeln från 1 till -1"

okej men jag är inte riktigt med på hur man ska göra för att dra ifrån linjeintegralen.

Hur ser linjeintegralen längs y-axeln ut?

jag är inte riktigt med på hur man ska göra för att dra bort sträckan utmed y-axeln y=1 till y=-1

Hur ser linjeintegralen längs y-axeln ut? Den blir väldigt enkel eftersom  x, z  är noll.

Den ytan vi har nu som blev noll är ju cirkelbågen + sträckan utmed y=1 till y=-1 och vi vill bara ha ytan utmed cirkelbågen.

Så då ska vi ju dra bort sträckan y=1 till y=-1 men jag vet inte riktigt hur man ska gå till väga.

Sedan vet vi ju även att x och z är noll.

Det betyder att du skall beräkna integralen ${\int }_{\gamma }{z}^{2}dx+y^{2}dy+2xzdz$ där γ är den räta linjen från (0,1,0) till (0,-1,0). Mycket blir 0.

okej så med x och z noll får vi ${\int }_{\nu }2zdx+2ydy+xzdz$ =   ${\int }_{\nu }2zdx$ 

Hur tänkte du nu? Varför försvann till exempel 2ydy?

det blev fel, jag menade $\int 2ydy$ eftersom x och z är noll så fick jag 2ydy kvar ensamt.

Bara att integrera då.

sätter jag in mina y värdet får jag ${\int }_{-1}^{1}2ydy$ det blir väl då 2-(-2)=4

Vad får du om du integrerar 2y ?

 den primitiva funktionen till 2y=  $y^2$

Bra, men nu var det ju inte 2y du skulle integrera. Gå tillbaka till uppgiftsformuleringen så ser du att det står y^2 dy där.

men då gör jag väl bara samma sak fast med y^2 och den primitiva funktionen av  $y^2$ är ju då  $=\frac{1}{3}{y}^3$

Och svaret blir alltså ...

${\int }_{-1}^1\frac{1}{3}{y}^3$ sätter man då in värdena får man $\frac{1}{3}--\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$

Färdig! Men du skrev integraltecken i stället för klamrar.

okej, så ${{\left[\frac{1}{3}{y}^3\right]}_{-1}}^1=\frac{1}{3}-(-)\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$

så det slutliga svaret blir alltså 2/3