Stokes sats på ellipsoid

 Hej,

Jag räknar på en uppgift där man har en ellipsoid på formen:

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$

med en utåtriktad normal och vars kraftfält beskrivs av (1,2x,y). Det går helt enkelt ut på att man ska beräkna:

$\iint (\nabla \times \stackrel{\rightharpoonup }{F})·\hat{N}dS$

för övre halvan av ellipsoiden. Låt oss kalla detta område för E.

Eftersom området inte är slutet, så får vi sluta till den med en cirkelskiva Y som beskrivs av $\left\{\right(x,y) : \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\le 1\}$efter projektion av vårt område E på xy - planet.

Det jag först gör är att jag beräknar ut rotationen av kraftfältet, vilket blir (1,0,2). Därefter går jag vidare till att beräkna 

$\hat{N}dS = \left(\begin{array}{c}-f_x\\ -f_y\\ 1\end{array}\right)dxdy$

Nu har vi tagit hänsyn till att normalen ska vara uppåtriktad. Ok, vi kan även skippa att beräkna ut den partiella derivatan av f map y eftersom denna inte kommer ingå i skalärprodukten.

$z := f(x,y)=c\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}}$

Partiella derivatan map y ger:

$f_y=\frac{-c^{2}x}{a^{2}f(x,y)}$

Vi får därför att:

$(\nabla \times \stackrel{\rightharpoonup }{F})·\hat{N}dS = \left(2 + \frac{c^{2}x}{a^{2}f(x,y)}\right)dxdy$

Vi inför sedan elliptiska koordinater för rummet enligt:

$\left\{\begin{array}{l}x = a \sin \varphi \cos \theta \\ y=b\sin \varphi \sin \theta \end{array}\right., \varphi : 0 \to \frac{\mathrm{\pi }}{2}, \theta : 0 \to 2\mathrm{\pi }$

Genom insättning i integralen fås:

${\iint }_{Y\cup E}\left(2 + \frac{c^{2}x}{a^{2}f(x,y)}\right)dxdy={\int }_0^{2\mathrm{\pi }}{\int }_0^{\mathrm{\pi }/2}\left(2 + \frac{ca\sin \varphi \cos \theta }{a^2\cos \varphi }\right)ab\sin \varphi d\varphi d\theta$

På grund av att vi integrerar cosinusfaktorn över 2pi - intervallet försvinner den sista termen och kvar fås:

${\int }_0^{2\mathrm{\pi }}{\int }_0^{\mathrm{\pi }/2}2ab\sin \varphi d\varphi d\theta =4\mathrm{\pi ab}$

Slutligen måste vi ta bort dubbelintegralen för cirkelskivan vi använde för att sluta området. Det vill säga, för att få:

${\iint }_E={\iint }_{Y\cup E}-{\iint }_Y$

När jag räknar ut 

${\iint }_Y(\nabla \times \stackrel{\rightharpoonup }{F})·\hat{N}dS$

Så får jag normalen till (0,0-1), ty den ska peka ut från området och använder jag att rotationen av F ges av (1,0,2) får jag att denna integral ges av -2 gånger måttet av området, i detta fall ellipskivan med halvaxlarna a och b, vars area ges av $\pi ab$. Totalt fås därför $-2\pi ab$

Men subtraherar jag bort $-2\pi ab$så får jag det totala svaret till $6\pi ab$

Detta stämmer inte enligt facit som ger svaret $2\pi ab$. Jag förmodar att det blivit ett teckenfel i min sista beräkning. Jag har svårt med detta angående tecken, så ni får gärna ge extra kommentarer på hur man ska tänka.

Tack.