Stokes sats med ytorna, här intresserar vi oss för x.

Denna tråd är liten av fortsättning på denna tråd om Stokes, och dess skärning mellan ytor. (Fortsättning, fortsättning, jag har inte riktigt greppat det, tror jag). Som jag nu ser på hela problemet är man intresserade sig (i integralberäkningen) av cirkeln. Då fick jag ett bra svar.

Men nu vill jag koppla åter till den uppgiften i den föregående tråd (se länken ovan), men här har vi "hållt" på med att sätta $x$ lika med varann.

1. Varför gör man det? och inte gjorde det i förra trådens uppgift? Alltså sätt lika med.

(2. nu vet jag inte om det här är tillåtet, att fråga delfrågor, om det här klassas som en delfråga: men varför blir normalen i det här fallet $N=(1,0,0)$ när vi i en annan tråd (OBS det är ej samma tråd som jag nämnde i första raden av det här inlägget!!!!!) där fattade jag det som att man kan välja lite fritt. Ett citat från den tråden:

AlvinB skrev: Med Stokes sats kan du använda i princip vilken yta som helst som har kurvan som rand. I detta fall är det enklaste att välja att ytan är planet $z=4x$ eftersom skärningskurvan ligger i det planet. Då ytan är skriven på explicit form ( $z=f(x,y)$ ) är det enkelt att skapa en parametrisering eftersom $x$ och $y$ kan variera fritt och $z=4x$ .

Och då tänkte jag att man skulle (eller kunde) sätta $(\sqrt{2-y^2-z^2},y,z)$ alltså att $y,z$ får variera fritt. Eller kan man ej göra så för att det är ytor, och inte ett plan? Nu vet jag ju (efter att ish, nästan, förstått facit, att allt beror på $x \ge 0$ men då har man ju på något sätt sagt att $z$ och $y$ INTE kan variera fritt? Eller?

Nu blev inlägget lite långt, hoppas att jag är tydlig. Mod får gärna ändra min rubrik. För vet inte riktigt vad den ska heta för att passa det här inlägget.

Och tack till den som orkar öppna nya flikar, läsa igenom de två andra trådarna, läsa min knackiga svenska och försöka förstå vad jag menar :)

1. Jag begriper inte riktigt vad du undrar. Vad är det du menar att man sätter lika med?

2. Ja, den parametriseringen skulle också funka, men det blir en mycket krångligare ytintegral. Vad man inser i facit är att skärningskurvan är en cirkel i planet $x=1$ . Alltså går det att använda planet $x=1$ som yta. Vi behöver ju inte ens beräkna integralen i och med att vi vet att det är en cirkel.

AlvinB skrev:
1. Jag begriper inte riktigt vad du undrar. Vad är det du menar att man sätter lika med?

2. Ja, den parametriseringen skulle också funka, men det blir en mycket krångligare ytintegral. Vad man inser i facit är att skärningskurvan är en cirkel i planet $x=1$ . Alltså går det att använda planet $x=1$ som yta. Vi behöver ju inte ens beräkna integralen i och med att vi vet att det är en cirkel.

1. Nej men de sätter lika med, alltså hitta skärningen, det gjorde man inte i den här tråden. Där tog man "bara" cirkeln med i beräkningen.

2. Så om det hade stått $x,y \ge 0$ hade det blivit $(1,1,0)$ då? Osv?

(btw, fin illustration. var gjorde du den?)

1. Ja, fast i den tråden applicerar vi bara Stokes sats direkt. Då behöver vi inte göra mer med kurvan än konstatera att ytan har den som rand. Skillnaden i detta fall är att vi kan förenkla beräkningarna avsevärt genom att hitta en ny enklare yta (planet $x=1$ ) som fortfarande har kurvan (cirkeln) som rand, och därför trixar vi lite med skärningen.

2. Nej, normalen blir fortfarande densamma. Om du skulle ha $x,y\geq0$ skulle kurvan bli en halvcirkel:

Då är kurvan inte längre sluten vilket gör det svårare att tillämpa Stokes sats, men vi kan konstruera en sluten kurva genom att lägga till ett vertikalt linjestycke. Den halvcirkeln som då bildas ligger fortfarande i planet $x=1$ vilket ger en snarlik beräkning (samma normal) på ytintegralen.

Illustrationerna är gjorda i Geogebra 3D, en av de bästa tredimensionella grafräknarna jag känner till.

https://www.geogebra.org/3d

AlvinB skrev:
1. Ja, fast i den tråden applicerar vi bara Stokes sats direkt. Då behöver vi inte göra mer med kurvan än konstatera att ytan har den som rand. Skillnaden i detta fall är att vi kan förenkla beräkningarna avsevärt genom att hitta en ny enklare yta (planet $x=1$ ) som fortfarande har kurvan (cirkeln) som rand, och därför trixar vi lite med skärningen.
2. Nej, normalen blir fortfarande densamma. Om du skulle ha $x,y\geq0$ skulle kurvan bli en halvcirkel:
Då är kurvan inte längre sluten vilket gör det svårare att tillämpa Stokes sats, men vi kan konstruera en sluten kurva genom att lägga till ett vertikalt linjestycke. Den halvcirkeln som då bildas ligger fortfarande i planet $x=1$ vilket ger en snarlik beräkning (samma normal) på ytintegralen.
Illustrationerna är gjorda i Geogebra 3D, en av de bästa tredimensionella grafräknarna jag känner till.
https://www.geogebra.org/3d

hur såg man att den inte var sluten från början? för jag menar $z+y=1$ är ju en cirkel. Samma sak med den andra ytan. Eller??

AlvinB skrev:
1. Ja, fast i den tråden applicerar vi bara Stokes sats direkt. Då behöver vi inte göra mer med kurvan än konstatera att ytan har den som rand. Skillnaden i detta fall är att vi kan förenkla beräkningarna avsevärt genom att hitta en ny enklare yta (planet $x=1$ ) som fortfarande har kurvan (cirkeln) som rand, och därför trixar vi lite med skärningen.
2. Nej, normalen blir fortfarande densamma. Om du skulle ha $x,y\geq0$ skulle kurvan bli en halvcirkel:
Då är kurvan inte längre sluten vilket gör det svårare att tillämpa Stokes sats, men vi kan konstruera en sluten kurva genom att lägga till ett vertikalt linjestycke. Den halvcirkeln som då bildas ligger fortfarande i planet $x=1$ vilket ger en snarlik beräkning (samma normal) på ytintegralen.
Illustrationerna är gjorda i Geogebra 3D, en av de bästa tredimensionella grafräknarna jag känner till.
https://www.geogebra.org/3d

Nu sitter jag och har plottat dessa för att få dem bredvid varandra för att få en känsla om hur jag ska göra.. Och jag tycker liksom att

jag tycker ju att den sista bilden där är det ju självklart att vi måste sätta planen lika för att se när de skär varann, för att det ser man ju tydligt.

men i den första bilden tycker jag att det inte kanske (dåligt uttryck nu då kanske) "inte spelar ngn roll" eftersom sfären kommer skära i hela cirkeln all the time... oavsett om det är i $z , x$ eller $y$ , större/mindre-likamed-0. Eller?

Eller.... för nu kollar jag närmare på din bild:

så om uppgiften hade lydig $y /ge$ 0 då hade vi kollat på den gröna delen? och fått således (0,1,0)

jag tror jag börjar förstå här nu=).

Det som är lite missvisande när du sätter in $x\geq0$ på Geogebra är att den visar ett plan. Egentligen är det ju halva vektorrummet (alla tredimensionella punkter med positiva $x$ -värden). Kanske är en sådan här illustration mer korrekt:

Om vi lägger till villkoret $y\geq0$ (så att vi har både $x\geq0$ och $y\geq0$ ) får vi bara en fjärdedels sfär eftersom den måste vara positiv även på $y$ -axeln (den gröna). Ungefär så här:

Sätter vi nu in cylindern ser vi att skärningen blir som jag visade ovan:

Härifrån kan man om man lägger till ett vertikalt linjestycke lösa för kurvintegralen på i stort sett samma sätt som i ursprungsuppgiften.

AlvinB skrev:
Det som är lite missvisande när du sätter in $x\geq0$ på Geogebra är att den visar ett plan. Egentligen är det ju halva vektorrummet (alla tredimensionella punkter med positiva $x$ -värden). Kanske är en sådan här illustration mer korrekt:
Om vi lägger till villkoret $y\geq0$ (så att vi har både $x\geq0$ och $y\geq0$ ) får vi bara en fjärdedels sfär eftersom den måste vara positiv även på $y$ -axeln (den gröna). Ungefär så här:
Sätter vi nu in cylindern ser vi att skärningen blir som jag visade ovan:
Härifrån kan man om man lägger till ett vertikalt linjestycke lösa för kurvintegralen på i stort sett samma sätt som i ursprungsuppgiften.

Tror jag börjar fatta nu.
Tack så jättejättemycket!

Svara

Visa senaste svar