Stokes sats, hur man väljer yta

Det är ett plan som skär genom en cylinder så kurvan är sluten. Så för alla ytor som har den randkurvan kan du använda Stokes.

Edit: I det här fallet är det nog enklast att använda planets yta som begränsas av skärningskurvan. 

Såhär ser det ut när jag ritar upp den. Planet skär ju bara av en bit av cylindern, är kurvan verkligen sluten ??

Skärningen

Stokes sats:

Ska man integrera som vanligt får du integrera över cirkeln (x-1)²+(y-2)²=4

Planet breder ju ut sig i oändligheten. 

Tack för förtydliganden kring ytan, nu är jag (tror jag) med på noterna där.. Jag lyckas dock inte lösa integralen, försökte mig på ett byte till polära koordinater som jag inte är helt hundra på.. är det någon som har nåt tips?

$\underset{D}{\overset{}{\iint }}r²\cos \theta dr d\theta = {\int }_0^{2}r²dr {\int }_0^{2\mathrm{\pi }}\cos \theta d\theta$

Jag fattar inte riktigt, vad kommer ${\int }_{}{\int }_D{r}^2\cos \theta dr d\theta$ ifrån?

Det är första termen i din integral.

Normalen ska inte "enhetsnormeras", den beskriver delvis deformationen i integralen. För parametriseringen $z=z(x,y)$ ska du använda normalen med en 1:a i z-led, dvs

$N=(-z^\prime_x, -z^\prime_y, 1)=(-1,-2,1)$

Du kan härleda formeln genom att bilda kryssprodukten av parametriseringens $\mathbf{r}=\mathbf{r}(x,y,z(x,y))$ partiella derivator (som du gör i början av din lösning)

$N=\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial x}\times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial y}$

Ett tips när du integrerar cosx och sinx över intervallet 0 till 2pi, så det blir noll. En integral är ju i grunden arean under kurvan (med tecken), och perioden för cos och sin är 2pi. 

Tack för all hjälp, till slut gick det!