Stokes sats

Jag vet inte om det är pollenhalten i luften som gör att mina ögon inte klarar av att tyda siffror ordentligt, men jag får svaret till $6\pi\ \text{J}$ (om kraftfältet är mätt i newton och längderna i meter).

Metoden i tråden du länkar till är den snabbaste i detta fall, men jag tror du missar ett par detaljer. Vi får ju enligt Stokes sats:

$\displaystyle\int_\gamma\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\iint_D\nabla\times\mathbf{F}\cdot n\ dS$

där $n=N/|N|$ är en normerad normalvektor (detta eftersom vi vill ha storleken av $\nabla\times\mathbf{F}$ i $n$:s riktning, vilket ges av skalärprodukten $\nabla\times\mathbf{F}\cdot n$). Men, eftersom ytelementet $dS$ är lika med $dS=|N|\ dxdy$ (normalen $N$ är lika med kryssprodukten av derivatorna, och absolutbeloppet av en kryssprodukt ger ju arean som spänns upp av vektorerna) kan vi sätta in detta och istället integrera över ett område i $xy$-planet. Detta har dessutom fördelen att vi kan förkorta bort $|N|$ och därmed slippa normera normalvektorn:

$\displaystyle\iint_D\nabla\times\mathbf{F}\cdot n\ dS=\iint_{D_{(x,y)}}\nabla\times\mathbf{F}\cdot\frac{N}{|N|}\left|N\right|\ dxdy=\iint_{D_{(x,y)}}\nabla\times\mathbf{F}\cdot N\ dxdy$

Nu integrerar vi över områdets projektion i $xy$-planet, vilket blir en cirkel med radie $\sqrt{2}$. Du har rätt i att areor inte bevaras under projektion, men det har vi redan ordnat i och med att vi trixade med normalens absolutbelopp. Eftersom skalärprodukten blir $\nabla\times\mathbf{F}\cdot N=3$ får vi:

$\displaystyle\int_\gamma\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\iint_{D_{(x,y)}}3\ dxdy=3\cdot \text{area}\left(D_{(x,y)}\right)=6\pi$

Ja 6*pi är rätt svar, men arean av ellipsen blir 2*sqrt(5)*pi. Nu till ditt inlägg.

Normalen man får av planet behöver väl inte nödvändigtvis vara rätt skalad? För att få den normalen vi kan sätta in i formeln behöver vi väl parametrisera ellipsen först och sedan räkna ut normalen. Nu när jag skriver detta inser jag att detta kanske inte behövs eftersom uttrycket z=1+2x är en parametrisering av ytan, det skulle också förklara varför man får precis samma normal. 

Jo, fast den där normalen är inte vilken normal som helst. När vi gör förenklingarna jag gjorde i mitt förra inlägg och så småningom hamnar i

$\displaystyle\iint_{D_{(x,y)}}\nabla\times\mathbf{F}\cdot N\ dxdy$

är det viktigt att inse att detta endast gäller då $N$ är kryssprodukten av derivatorna, d.v.s.

$N=\dfrac{\partial \mathbf{r}}{\partial x}\times\dfrac{\partial\mathbf{r}}{\partial y}$

där $\mathbf{r}(x,y)$ är en parametrisering av ytan. För explicita ytor är det enklast att välja parametriseringen $\mathbf{r}(x,y)=(x,y,z(x,y))$ vilket förenklar normalen till den bekanta formeln:

$N=\dfrac{\partial \mathbf{r}}{\partial x}\times\dfrac{\partial\mathbf{r}}{\partial y}=(-\dfrac{\partial z}{\partial x},-\dfrac{\partial z}{\partial y},1)$

Det är alltså endast normalen som ges av derivatornas kryssprodukt som kan användas på detta sätt eftersom det är den normalen som avses när man skriver $dS=|N|\ dxdy$.