Stokes sats

Nästan, du har glömt två minustecken.

För en yta med x och y som parametrar $S\,:\>\mathbf{r}=(x,y,z(x,y)), \quad (x,y)\in D$ gäller

$\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial x}\times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial y}=(-z'_x, -z'_y,1)$

I det här fallet är ytan $z(x,y)=y$ varför en normal som pekar "uppåt" till ytan är $(0,-1,1)$.

$(z'_x,z'_y,1)$ är inte en normal till ytan.

Däremot är $(-z'_x,-z'_y,1)$ det. Beräknar du $(-z'_x,-z'_y,1)$ märker du att du får samma resultat som $\mathbf{r'}_x \times \mathbf{r'}_y$. Den positiva ettan indikerar att normalen pekar uppåt i z-led, och eftersom $\gamma$ är orienterad i positiv riktning uppifrån sett betyder detta att normalen pekar åt rätt håll.

Du kan få en normal som pekar nedåt från planet genom att multiplicera normalen med $-1$. Detta betyder alltså att $(z'_x,z'_y,\color{red}-\color{black}1)$ även är en normal till planet, men denna normal pekar nedåt i $z$-led, vilket ger fel orientering.

Variabelbytet med $y=1+r\sin(\theta)$ är för att man vill centrera området i origo (annars blir ju området centrerat i $(0,1)$ vilket leder till en massa krångel).

AlvinB skrev:

Variabelbytet med $y=1+r\sin(\theta)$ är för att man vill centrera området i origo (annars blir ju området centrerat i $(0,1)$ vilket leder till en massa krångel).

 Men var kommer (0,1) ifrån?

heymel skrev:

AlvinB skrev:

Variabelbytet med $y=1+r\sin(\theta)$ är för att man vill centrera området i origo (annars blir ju området centrerat i $(0,1)$ vilket leder till en massa krångel).

 Men var kommer (0,1) ifrån?

 Är du med på att cirkeln $x^2+(y-1)^2=1$ är centrerad i $(0,1)$?

AlvinB skrev:

heymel skrev:

Visa föregående citat

AlvinB skrev:

Variabelbytet med $y=1+r\sin(\theta)$ är för att man vill centrera området i origo (annars blir ju området centrerat i $(0,1)$ vilket leder till en massa krångel).

 Men var kommer (0,1) ifrån?

 Är du med på att cirkeln $x^2+(y-1)^2=1$ är centrerad i $(0,1)$?

 ja jaaaa.. då är jag med :))) tack!

på återseende