Stokes

Hejsan, jag har fastnat på den här uppgiften och undrar om någon kan hjälpa mig?

Låt γ vara skärningen mellan ytorna z = xy och x^2 + 2y^2 = 1, orienterad moturs

uppifrån sett. Beräkna 􏰂 Fdr, där F = (y^2, z^2, x^2).

Vi vet att:

$\int_{γ} F * d r = \iint r o t F * n d S$

Där

$r o t F = (\frac{d F_{z}}{d y} - \frac{d F_{y}}{d z}, \frac{d F_{x}}{d z} - \frac{d F_{z}}{d x}, \frac{d F_{y}}{d x} - \frac{d F_{x}}{d y}) = (0 - 2 z, 0 - 2 x, 0 - 2 y) = (- 2 z, - 2 x, - 2 y) = (- 2 x y, - 2 x, - 2 y)$

och

$r = (x, y, x y), r_{x}' = (1, 0, y), r_{y}' = (0, 1, x), x^{2} + 2 y^{2} \leq 1 r_{x}' \times r_{y}' = (a_{z} b_{y} - a_{y} b_{z}, a_{x} b_{z} - a_{z} b_{y}, a_{y} b_{x} - a_{x} b_{y}) = = (y - 0, x - y, 0 - 1) = (y, x - y, - 1)$

Så

$\iint r o t F * n d S = \iint (- 2 x y, - 2 x, - 2 y) (y, x - y, - 1) d x d y = \iint_{x^{2} + 2 y^{2} \leq 1} (- 2 x y^{2} - 2 x^{2} + 2 x y + 2 y) d x d y$

Såhär långt har jag kommit men jag är jätte osäker på om det här är rätt och om det är rätt så vet jag inte hur jag ska gå vidare. Kan någon hjälpa mig?

Tack på förhand!

Det är nog rätt om du normerar normalvektorn, alltså dividerar med beloppet. Men det ser ut att bli en krånglig integral.

Henrik Eriksson skrev :
Det är nog rätt om du normerar normalvektorn, alltså dividerar med beloppet. Men det ser ut att bli en krånglig integral.

Men hur gör jag annars då?

Nu ser jag att du räknat fel på andra komponenten i kryssprodukten. Då blir det enklare.

Henrik Eriksson skrev :
Nu ser jag att du räknat fel på andra komponenten i kryssprodukten. Då blir det enklare.

Jaha,

Så jag får:

$r o t F = (- 2 x y, - 2 x, - 2 y) n = (y, x, - 1) (B l i r o r i e n t e r i n g e n p o s i t i v e l l e r n e g a t i v ?) \iint r o t F * n d S = \iint (- 2 x y, - 2 x, - 2 y) (y, x, - 1) d x d y = \iint_{x^{2} + 2 y^{2} \leq 1} - 2 x y^{2} - 2 x^{2} + 2 y d x d y$

Blir det rätt nu?

Jag gör om till polära:

$x = r \cos θ y = \frac{1}{\sqrt{2}} r \sin θ 0 \leq θ \leq 2 π 0 \leq r \leq 1 \frac{d (x, y)}{d (r, θ)} = |\begin{matrix} \cos θ & - r \sin θ \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \sin θ & \frac{1}{\sqrt{2}} r \cos θ \end{matrix}| = \frac{1}{\sqrt{2}} r \cos^{2} θ + \frac{1}{\sqrt{2}} r \sin^{2} θ = \frac{1}{\sqrt{2}} r$

Så jag får:

$\int_{0}^{2 π} \int_{0}^{1} ((- 2 r \cos θ \frac{1}{2} r^{2} \sin^{2} θ) - (2 r^{2} \cos^{2} θ) + (2 \frac{1}{\sqrt{2}} r \sin θ)) \frac{1}{\sqrt{2}} r d r d θ$

Hur fortsätter jag nu?

Du normerade aldrig n. Dividera med roten ur y^2+x^2+1 så blir det rätt . Det blir nog bäst med vanliga polära. Alltså r dr dv och i nämnaren roten ur 1+r^2. Två av dom tre termerna är udda funktioner och ger bidraget noll.

Henrik Eriksson skrev :
Du normerade aldrig n. Dividera med roten ur y^2+x^2+1 så blir det rätt . Det blir nog bäst med vanliga polära. Alltså r dr dv och i nämnaren roten ur 1+r^2. Två av dom tre termerna är udda funktioner och ger bidraget noll.

Ska jag alltså dela (y,x,-1)/sqrt(y^2+x^2+1)=y/sqrt(y^2+x^2+1),x/sqrt(y^2+x^2+1),-1/sqrt(y^2+x^2+1)??

Ja, då får du en vektor med längden 1.

Henrik Eriksson skrev :
Ja, då får du en vektor med längden 1.

Så mitt n blir alltså 1? Och jag får bara att integralen blir -2xy,-2x,-2y?

??? Du skrev ju just upp enhetsvektorn n = (y,x,-1)/sqrt(y^2+x^2+1)=(y/sqrt(y^2+x^2+1),x/sqrt(y^2+x^2+1),-1/sqrt(y^2+x^2+1))

Svara

Visa senaste svar