stokastiska variabler och frekvens funktioner

Din primitiva funktion blir fel.

Antagligen känner du till att den primitiva funktionen till

$g(x)=e^{kx}$

är

$G\left(x\right)=\dfrac{e^{kx}}{k}$

Vad blir då den primitiva funktionen till $e^{-\lambda x}$?

Dessutom måste du tänka på att funktionen enbart är $\lambda e^{-\lambda x}$ när $x>0$ och annars noll. Då får du ju:

$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}f\left(x\right)\ dx=\int_{-\infty}^0 0\ dx+\int_0^{\infty}\lambda e^{-\lambda x}\ dx=\lambda\int_0^{\infty}e^{-\lambda x}\ dx$

Hej!

Din funktion är en frekvensfunktion (täthetsfunktion) om den uppfyller följande krav.

• För alla $x \in D_f$ gäller det att $f(x) \geq 0$, där $D_f$ betecknar definitionsmängden till funktionen $f$.
• Integralen $\int_{x \in D_f} f(x) \,dx = 1.$ 

För dig är $D_f = \mathbb{R}$, och om $\lambda \geq 0$ så är $f(x) \geq 0$ för alla $x \in D_f$; det första kravet är alltså uppfyllt för alla slags $\lambda \geq 0$.

Om $\lambda = 0$ så blir $f(x) = 0$ för alla $x$, och då kan integralen inte bli lika med $1$; det andra kravet är inte uppfyllt om $\lambda = 0$. 

Anta att $\lambda > 0$. Integralen som ska undersökas är

    $\int_{\mathbb{R}}f(x)\,dx = \int_{-\infty}^0 0 \, dx + \int_{0}^\infty \lambda e^{-\lambda x}\,dx = \lambda\int_{0}^{\infty}e^{-\lambda x}\,dx = \lambda [\frac{e^{-\lambda x}}{-\lambda}]_{0}^{\infty} =\ldots$

AlvinB skrev:

Din primitiva funktion blir fel.

Antagligen känner du till att den primitiva funktionen till

$g(x)=e^{kx}$

är

$G\left(x\right)=\dfrac{e^{kx}}{k}$

Vad blir då den primitiva funktionen till $e^{-\lambda x}$?

Dessutom måste du tänka på att funktionen enbart är $\lambda e^{-\lambda x}$ när $x>0$ och annars noll. Då får du ju:

$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}f\left(x\right)\ dx=\int_{-\infty}^0 0\ dx+\int_0^{\infty}\lambda e^{-\lambda x}\ dx=\lambda\int_0^{\infty}e^{-\lambda x}\ dx$

okej deriverades talet e på något speciellt fall? enligt formelsamlingen ska x^a ha den primitiva funktionen $x^a = \left(\frac{ 1}{a+1}\right) * x^{a+1}$

$e^{-\lambda x} = \frac{e^{-\lambda x + 1} }{-\lambda x + 1}$ för då borde ju detta vara den primitiva

men ja, följer jag ditt exempel får jag ju $e^{-\lambda x} = \frac{e^{-\lambda x} }{-\lambda }$

jag förstår inte varför det itne blir som exemplet ovan.

Vidare får jag problem i nästa steg då jag får som albibla sa

$\lambda {{\left[\frac{e^{-\lambda x}}{-\lambda }\right]}_0}^{\infty } = \lambda * \frac{e^{-\lambda \infty }}{-\lambda }= 1$

Nu har du rätt antiderivata. Som du antagligen kommer ihåg någonstans i bakhuvudet beräknas en integral som en differens av de primitiva funktionsvärdena:

$\displaystyle\int_a^bf\left(x\right)\ dx=F\left(b\right)-F\left(a\right)$

I vårt fall får vi:

$\lambda[\dfrac{e^{-\lambda}}{-\lambda}]=\lambda(\lim_{x\to\infty}(\dfrac{e^{-\lambda x}}{-\lambda})-\dfrac{e^{-\lambda\cdot0}}{-\lambda})=1-\lim_{x\to\infty}(e^{-\lambda x})$

Kan du se att gränsvärdet blir noll och därmed hela integralen lika med $1$?