Stokastiska variabler

Hej. Jag har problem med följande uppgift:

Låt X och Y vara oberoende och likformigt fördelade stokastiska variabler på intervallet $(0, a), a > 0$ . Bestäm fördelningsfunktionerna för 2X och X + Y och rita deras grafer. Kan man välja a så att 2X och X + Y är identiskt fördelade?

Jag fick att Z=X+Y är (m.h.a. faltningsformeln för oberoende kontinuerliga stokastiska variabler)

$f (z) = \{\begin{cases} \frac{1}{a^{2}} z, 0 \leq z \leq a \\ \frac{1}{a^{2}} (2 a - z), a < z \leq 2 a \end{cases}$

Detta borde stämma. Men hur blir det med 2X? Skall jag då tolka 2X som X+X? Blir då inte fördelningsfunktionerna identiska för de båda fallen?

Hej!

Det verkar som att du har bestämt täthetsfunktionen för summan $X+Y$ och inte dess fördelningsfunktion som uppgiften handlade om.

Faltningsformeln fungerar för att bestämma fördelningen till en summa av två oberoende slumpvariabler. Termerna i summan $X + X$ är beroende slumpvariabler! För att bestämma dess fördelningsfunktion kan du notera att olikheten $2X \leq x$ är samma sak som olikheten $X \leq 0.5 x.$

Albiki

Kan man få fördelningsfunktionen för X+Y på något annat sätt, eller måste man räkna ut täthetsfunktionen först? Jag kan ju använda min täthetsfunktion för att få fördelningsfunktionen för X+Y=Z som då är

$F_{z} (z) = \{\begin{cases} \frac{1}{2 a^{2}} z^{2}, 0 \leq z \leq a \\ \frac{2}{a} z - \frac{1}{2 a^{2}} z^{2} - \frac{3}{2}, a \leq z \leq 2 a \end{cases}$

För 2X=Z blir väl fördelningsfunktionen

$F_{Z} (z) = \frac{1}{2 a} z, 0 \leq z \leq 2 a$

Svara