Stokastiska metoder, tvådimensionell fördelning

Hittade ett lösningsförslag på liknande uppgift. Jag är nöjd. Man kan alltså mata in C-värdet i en tabell som som visar alla  kombinationer för i och j. När man väl fått fram simultana sannolikhetsfunktionen. Som i mitt fall blev (1/8)|i-j|, kan man då göra en tabell över alla värden. 

Då får man radvis respektive slumpvariabel X=i, Y=j's sannolikheter.

Hej,

Beteckningen $p_{X,Y}(i,j)$ står för sannolikheten för händelsen att slumpvariabeln $X=i$ samtidigt som slumpvariabeln $Y=j$.

    $\displaystyle p_{X,Y}\left(i,j\right)=P\left(X=i \text{ och }Y=j\right).$

Den givna sannolikhetsfördelningen är sådan att

    $\displaystyle1 = \sum_{i=0}^{2}\sum_{j=0}^{2}P\left(X=i \text{ och }Y=j\right) = c \cdot \sum_{i=0}^{2}\sum_{j=0}^{2}\left|i-j\right| \\= c\cdot (\left|0-0\right|+\left|0-1\right|+\left|0-2\right|+\left|1-0\right|+\left|1-1\right|+\left|1-2\right|+\left|2-0\right|+\left|2-1\right|+\left|2-2\right|)\\=c\cdot (0+1+2+1+0+1+2+1+0)=8c\Longleftrightarrow c=\frac{1}{8}.$

Marginalfördelningen för slumpvariabeln $X$ får man via den gemensamma sannolikhetsfördelningen för paret $(X,Y)$.

    $\displaystyle P\left(X=i\right) = \sum_{j=0}^{2}P\left(X=i \text{ och }Y=j\right) \\= P\left(X=i \text{ och }Y=0\right) + P\left(X=i \text{ och }Y=1\right) + P\left(X=i \text{ och }Y=2\right) \\= c\left|i-0\right|+c\left|i-1\right|+c\left|i-2\right|=\frac{1}{8}\cdot \left(\left|i\right|+\left|i-1\right|+\left|i-2\right|\right).$

Detta ger

    $P(X=0) = \frac{3}{8}$ och $P(X=1)=\frac{2}{8}$ samt $P(X=2)=\frac{3}{8}$.

Tack så mycket Albiki, väldigt tydligt och bra!