Stokastik: Beräkna täthetsfunktionen

Hej jag har fastnat i följande fråga:

Given information: En slumpvariabel X har täthetsfunktionen: $f_{X} (x) = c x^{2}$ , då 0<x<1 , och 0 för övriga

Fråga: Beräkna täthetsfunktionen för Y, om man låter $Y = \sqrt{X}$

Jag har börjat med att beräkna konstanten C och fått den till 3 genom att sätta integralen av täthetsfunktionen lika med 1. Nu försöker jag få fram täthetsfunktionen för Y men lyckas inte hamna rätt. Tänker att man bör kunna lösa ut X från ekvationen och då få fram att X = Y², sedan sätta in det i täthetsfunktionen. Då får jag $3 {(Y^{2})}^{2}$ , vilket är ekvivalent med $3 Y^{4}$ .

Vilket jag tänker bör vara mitt svar, men detta säger facit är fel. Hur skall jag gå tillväga?

Hej,

Täthetsfunktionen $g$ för $Y$ får du via fördelningsfunktionen $G$ för $Y$ .

$G(y) = P(Y\leq y) = P(\sqrt{X} \leq y) = P(X \leq y^2)\ , \quad 0\leq y \leq 1.$

Täthetsfunktionen blir då

$g(y) = G^\prime(y) = 2y \cdot f(y^2).$

Albiki skrev:
Hej,

Täthetsfunktionen $g$ för $Y$ får du via fördelningsfunktionen $G$ för $Y$ .

$G(y) = P(Y\leq y) = P(\sqrt{X} \leq y) = P(X \leq y^2)\ , \quad 0\leq y \leq 1.$

Täthetsfunktionen blir då

$g(y) = G^\prime(y) = 2y \cdot f(y^2).$

Varför ta fram en fördelningsfunktion och sen en täthetsfunktion från den, när man har täthetsfunktionen för x redan?

Förstår inte riktigt hur detta kopplar med f_X(x) = cx2

Om du inte vill gå via fördelningsfunktionen $G$ så måste du direkt ange täthetsfunktionen $g$ från $f$ via Kedjeregeln med huvudräkning.

Täthetsfunktionen är som jag skrivit $g(y) = 2y \cdot f(y^2)$ .

Du vet att $f(x) = cx^2$ så då blir $f(y^2) = ...$ och följaktligen $g(y) = ...$

så $f (y^{2}) = 3 y^{4}$ ?

Fattar inte hur g kommer in i bilden, skall jag inte beräkna $f_{Y} (y)$ ?

Andreas Persson skrev:
så $f (y^{2}) = 3 y^{4}$ ?

Fattar inte hur g kommer in i bilden, skall jag inte beräkna $f_{Y} (y)$ ?

Jag skrev inledningsvis att $g$ betecknar täthetsfunktionen för $Y$ .

Svara

Visa senaste svar