5 svar
173 visningar
Andreas Persson 9 – Fd. Medlem
Postad: 7 dec 2020 15:26

Stokastik: Beräkna täthetsfunktionen

Hej jag har fastnat i följande fråga: 

Given information: En slumpvariabel X har täthetsfunktionen: fX(x) = cx2 , då 0<x<1 , och 0 för övriga 

Fråga: Beräkna täthetsfunktionen för Y, om man låter Y=X

Jag har börjat med att beräkna konstanten C och fått den till 3 genom att sätta integralen av täthetsfunktionen lika med 1. Nu försöker jag få fram täthetsfunktionen för Y men lyckas inte hamna rätt. Tänker att man bör kunna lösa ut X från ekvationen och då få fram att X = Y2, sedan sätta in det i täthetsfunktionen. Då får jag 3(Y2)2, vilket är ekvivalent med 3Y4.

Vilket jag tänker bör vara mitt svar, men detta säger facit är fel. Hur skall jag gå tillväga? 

Albiki 5096 – Fd. Medlem
Postad: 7 dec 2020 15:33

Hej,

Täthetsfunktionen gg för YY får du via fördelningsfunktionen GG för YY.

    G(y)=P(Yy)=P(Xy)=P(Xy2) ,  0y1.G(y) = P(Y\leq y) = P(\sqrt{X} \leq y) = P(X \leq y^2)\ , \quad 0\leq y \leq 1.

Täthetsfunktionen blir då

    g(y)=G'(y)=2y·f(y2).g(y) = G^\prime(y) = 2y \cdot f(y^2).

Andreas Persson 9 – Fd. Medlem
Postad: 7 dec 2020 16:02 Redigerad: 7 dec 2020 16:03
Albiki skrev:

Hej,

Täthetsfunktionen gg för YY får du via fördelningsfunktionen GG för YY.

    G(y)=P(Yy)=P(Xy)=P(Xy2) ,  0y1.G(y) = P(Y\leq y) = P(\sqrt{X} \leq y) = P(X \leq y^2)\ , \quad 0\leq y \leq 1.

Täthetsfunktionen blir då

    g(y)=G'(y)=2y·f(y2).g(y) = G^\prime(y) = 2y \cdot f(y^2).

 

Varför ta fram en fördelningsfunktion och sen en täthetsfunktion från den, när man har täthetsfunktionen för x redan?

Förstår inte riktigt hur detta kopplar med fX(x) = cx2

Albiki 5096 – Fd. Medlem
Postad: 7 dec 2020 16:15

Om du inte vill gå via fördelningsfunktionen GG så måste du direkt ange täthetsfunktionen gg från ff via Kedjeregeln med huvudräkning.

Täthetsfunktionen är som jag skrivit g(y)=2y·f(y2)g(y) = 2y \cdot f(y^2).

Du vet att f(x)=cx2f(x) = cx^2 så då blir f(y2)=...f(y^2) = ... och följaktligen g(y)=...g(y) = ...

Andreas Persson 9 – Fd. Medlem
Postad: 7 dec 2020 16:29

så f(y2) = 3y4 ?

Fattar inte hur g kommer in i bilden, skall jag inte beräkna fY(y)?

Albiki 5096 – Fd. Medlem
Postad: 7 dec 2020 16:43
Andreas Persson skrev:

så f(y2) = 3y4 ?

Fattar inte hur g kommer in i bilden, skall jag inte beräkna fY(y)?

Jag skrev inledningsvis att gg betecknar täthetsfunktionen för YY.

Svara
Close