Stav som glider längs en vägg

Håller på med uppgift 3 på den här tentan (lösningsförslag). Jag löste den med energimetoden. $- m g \frac{l}{2} = \frac{1}{2} m (\frac{l}{2} \dot{θ})^{2} + \frac{1}{2} \frac{1}{12} m l^{2} {\dot{θ}}^{2} - m g \frac{l}{2} \cos (θ) - F l \sin (θ) \Rightarrow {\dot{θ}}^{2} = \frac{6 F \sin (θ)}{m l} - \frac{3 g (1 - \cos (θ))}{l}$

Antar att detta funkar, då svaret stämmer överens med facit. De kollar dock istället på moment (och använder $M = I \ddot{θ}$ ). Jag försöker med deras metod, men får inte till det. Hur ska man gå tillväga här (lösningsförslaget är väldigt vagt)?

Det de menar är att man kan välja sin momentpunkt så att krafterna i både A och B inte ger upphov till något moment m.a.p. den punkten (med undantag för F, men F är ju känd så vi kan teckna dess moment). Börja med att rita en figur, hur är krafterna i A och B riktade? Välj sedan momentpunkt, och glöm inte att parallellförflytta tröghetsmomentet. Det är dessutom viktigt att få rätt tecken.

pixisdot skrev:
Det de menar är att man kan välja sin momentpunkt så att krafterna i både A och B inte ger upphov till något moment m.a.p. den punkten (med undantag för F, men F är ju känd så vi kan teckna dess moment). Börja med att rita en figur, hur är krafterna i A och B riktade? Välj sedan momentpunkt, och glöm inte att parallellförflytta tröghetsmomentet. Det är dessutom viktigt att få rätt tecken.

Grejen är ju att denna punkt förflyttar sig med tiden. Måste man ta hänsyn till det i momentberäkningen?

En väldigt bra idé när du försökt något är att presentera vad du gjort.

Eftersom du vill veta vinkelaccelerationen vid en godtycklig tidpunkt kan du beräkna momentet vid en godtycklig tidpunkt.

pixisdot skrev:
Eftersom du vill veta vinkelaccelerationen vid en godtycklig tidpunkt kan du beräkna momentet vid en godtycklig tidpunkt.

Ah, right. Fick till det nu, bortsett från ett tecken. Får att $I_{O} = \frac{1}{12} m l^{2} + m (\frac{l}{2})^{2} M_{O} = m g \frac{l}{2} \sin (θ) - F l \cos (θ)$

och därmed $\ddot{θ} = \frac{3 g \sin (θ)}{2 l} - \frac{3 F \cos (θ)}{m l}$ . Tecknet ska dock vara tvärtom, som sagt. Antar att det måste vara i momentberäkningen det sker, men tycker jag gör rätt där. Tyngdkraften har negativ hävarm från O i x-led och är själv negativ i y-led, alltså positivt moment i z-led. F har positiv hävarm från O i y-led och är själv positiv i x-led, alltså negativt moment i z-led. (Enligt kryssproduktens antikommutativitet).

Matte357 skrev:
Tyngdkraften har negativ hävarm från O i x-led och är själv negativ i y-led, alltså positivt moment i z-led. F har positiv hävarm från O i y-led och är själv positiv i x-led, alltså negativt moment i z-led. (Enligt kryssproduktens antikommutativitet).

Tecknet blir som det blir för att du har dikterat moturs som positiv riktning för vinkelaccelerationen. Vilken riktning du väljer som positiv avgör vilka tecken de får. Lösningsförslaget har valt den andra riktningen som positiv. Om du betraktar medurs som positiv rotation blir momentet från tyngdkraften negativ.

Ebola skrev:
Matte357 skrev:
Tyngdkraften har negativ hävarm från O i x-led och är själv negativ i y-led, alltså positivt moment i z-led. F har positiv hävarm från O i y-led och är själv positiv i x-led, alltså negativt moment i z-led. (Enligt kryssproduktens antikommutativitet).
Tecknet blir som det blir för att du har dikterat moturs som positiv riktning för vinkelaccelerationen. Vilken riktning du väljer som positiv avgör vilka tecken de får. Lösningsförslaget har valt den andra riktningen som positiv. Om du betraktar medurs som positiv rotation blir momentet från tyngdkraften negativ.

Ah, ok. Men varför får jag, enligt facit, rätt med min lösning med energimetoden (se mitt första inlägg)?

Ibland kan man lösa uppgifter med mer än en metod. Du har ju gjort rätt, energin är inte bevarad men det utförs ett arbete och det har du tagit med.

pixisdot skrev:
Ibland kan man lösa uppgifter med mer än en metod. Du har ju gjort rätt, energin är inte bevarad men det utförs ett arbete och det har du tagit med.

Jag kanske var lite otydlig, jag förstår varför man kan använda energimetoden. Det jag inte förstår är varför jag får olika tecken när jag löser den med energi- respektive momentmetoden.

Matte357 skrev:
Jag kanske var lite otydlig, jag förstår varför man kan använda energimetoden. Det jag inte förstår är varför jag får olika tecken när jag löser den med energi- respektive momentmetoden.

I din lösning med energimetoden är rotation medurs positiv på grund av den riktning som kraften F har. En grej att ha i åtanke här är att rotation medurs är det som är naturligt att se som positivt eftersom arbetet från kraften då blir positivt. Det är energi vi "stoppar in" i systemet och om du skulle formulera denna som negativ skulle du ha ett uttryck för negativ energi vilket är orimligt.

Ebola skrev:
Matte357 skrev:
Jag kanske var lite otydlig, jag förstår varför man kan använda energimetoden. Det jag inte förstår är varför jag får olika tecken när jag löser den med energi- respektive momentmetoden.
I din lösning med energimetoden är rotation medurs positiv på grund av den riktning som kraften F har. En grej att ha i åtanke här är att rotation medurs är det som är naturligt att se som positivt eftersom arbetet från kraften då blir positivt. Det är energi vi "stoppar in" i systemet och om du skulle formulera denna som negativ skulle du ha ett uttryck för negativ energi vilket är orimligt.

Ah, right. Men får att få rätt svar med moturs som positiv riktning (dvs samma svar som med momentmetoden) måste jag även byta tecken på lägesenergi. Hur går det ihop?

Matte357 skrev:
Ah, right. Men får att få rätt svar med moturs som positiv riktning (dvs samma svar som med momentmetoden) måste jag även byta tecken på lägesenergi. Hur går det ihop?

Om du betraktar din energirelation har du beskrivit ett startläge och ett ändläge. Du har medelst detta dikterat att medurs är positiv rotationsriktning. Startläget är nämligen då den är vertikal och ändläget är någon punkt vid någon vinkel $θ$ . Om vi tittar på din första relation:

$F l \sin θ - \frac{1}{2} m g l (1 - \cos θ) = K E$

Denna säger att när $θ = 0$ får vi ingen kinetisk energi. Så snart vi har att $θ > 0$ får vi att arbetet vi stoppar in i systemet måste vara större än den motsvarande potentiella energin det nya läget har. Vi säger alltså här att tyngdkraften motarbetar kraften F:s bidrag vilken då betraktas som den drivande faktorn i rörelsen. Om du i momentekvationen väljer moturs som positiv riktning säger du indirekt att de krafter som verkar moturs är de som är drivande i systemet för att ge den vinkelaccelerationen. Alltså är det inte fel differentialekvationer du får fram men de beskriver en annan sak.

Motfrågan blir; varför vill du bestämt ha moturs som positiv riktning? Facit ger differentialekvationen med medurs som positiv riktning. Du har samma svar med din energimetod. Det enda det här visar är att val av positiv riktning i en momentekvation inte är godtyckligt när man jämför direkt med energimetoden. Givetvis är differentialekvationen fortfarande giltig, problemet blir bara att den beskriver negativ rörelse relativt den andra.

I grunden så är det naturligt att ange en riktning som korresponderar till en drivande yttre kraft. I det här fallet är det den yttre kraften F som är drivande varför dennes momentriktning borde vara positiv.

Ebola skrev:
Motfrågan blir; varför vill du bestämt ha moturs som positiv riktning? Facit ger differentialekvationen med medurs som positiv riktning. Du har samma svar med din energimetod. Det enda det här visar är att val av positiv riktning i en momentekvation inte är godtyckligt när man jämför direkt med energimetoden. Givetvis är differentialekvationen fortfarande giltig, problemet blir bara att den beskriver negativ rörelse relativt den andra.
I grunden så är det naturligt att ange en riktning som korresponderar till en drivande yttre kraft. I det här fallet är det den yttre kraften F som är drivande varför dennes momentriktning borde vara positiv.

Är van att ha moturs som positiv riktning av den enkla anledningen att x-axeln brukar peka åt höger, y-axeln uppåt och därmed z-axeln mot mig. Därmed blir positiv rotation runt z-axeln moturs.

Svara

Visa senaste svar