Statistik - väntevärde och varians

God morgon!

Jag har kört fast på följande uppgift, som bygger på ett tidigare exempel i boken om pricksummor:
Betrakta försöket att kasta två tärningar och låt X vara den stokastiska variabeln "pricksumman". I exemplen 7.10 och 7.12 har väntevärdet respektive variansen för X beräknats.

a) Bilda en ny stokastisk variabel, Y, genom $Y = X - E (X)$ , och beräkna väntevärdet och variansen av Y.

b) Bilda ytterligare en ny stokastisk variabel, Z, genom $Z = \frac{Y}{\sqrt{V (Y)}}$ och beräkna väntevärdet och variansen för Z.

Mitt försök: För ursprungsförsöket är väntevärdet 7 och variansen $\frac{210}{36}$ .

a) $E (Y) = E (X - 7) = E (X) - 7 = 7 - 7 = 0$

$V (Y) = V (X - 7) = V (X) = \frac{210}{36}$

Dessa två resultat känns rent spontant ganska rimliga. Om väntevärdet för X är 7, och vi flyttar kurvan sju steg till vänster borde det nya väntevärdet hamna runt 0, och variansen förändras inte eftersom försöket är identiskt med det första. Stämmer det?

b) $Z = \frac{Y}{\sqrt{V (Y)}} = \frac{X - 7}{\sqrt{\frac{210}{36}}}$

$E (Z) = E (\frac{X - 7}{\sqrt{\frac{210}{36}}}) = \frac{1}{\sqrt{\frac{210}{36}}} \cdot E (X - 7) = \frac{1}{\sqrt{\frac{210}{36}}} \cdot (E (X) - 7) = 0$

$V (Z) = V (\frac{X - 7}{\sqrt{\frac{210}{36}}}) = {(\frac{1}{\sqrt{\frac{210}{36}}})}^{2} \cdot V (X - 7) = \frac{36}{210} \cdot V (X) = \frac{36}{210} \cdot \frac{210}{36} = 1$

Stämmer verkligen detta? Det känns som att det har gått snett någonstans.

Tack på förhand!

Dina uträkningar ser ut att stämma.

a) Din tolkning stämmer bra. Att variansen inte förändras kan man inse genom att det är ett mått på hur utspridd fördelningen på variabeln är, så att bara förskjuta den åt något håll kommer inte påverka hur utspridd den är på något sätt.

Sen kan du ju också se att exakt vilka tal variansen och väntevärdet var spelar inte så stor roll för slutliga resultatet. Oavsett vad väntevärdet på hade varit så hade du fått att $Y$ har väntevärdet $0$ . Oavsett vad variansen hade varit så hade du fått att $Z$ har variansen $1$ .

Tack så mycket för hjälpen!

Hej!

Jag tycker allt ser korrekt ut! Att minska med väntevärdet och dividera med standardavvikelsen är ju samma metod man använder för normalfördelningen!

$X \in N(\mu,\sigma) \Rightarrow$

$Z = \frac{X-\mu}{\sigma} \in N(0,1)$

tomast80 skrev :
Hej!
Jag tycker allt ser korrekt ut! Att minska med väntevärdet och dividera med standardavvikelsen är ju samma metod man använder för normalfördelningen!
$X \in N(\mu,\sigma) \Rightarrow$
$Z = \frac{X-\mu}{\sigma} \in N(0,1)$

Intressant! Tack för hjälpen!

Svara

Visa senaste svar