Statistik skattning av väntevärde

Hej! Jag har en statistikuppgift jag försöker lösa men har kört fast lite. Frågan lyder:

En kemist har med skattningen $μ_{1}$ , skattat den okända halten $μ$ , av ett visst ämne i en vattenlösning. Vidare har man med samma metod skattat halten av ämnet i en vattenlösning som man vet har 8 gånger så stark koncentration till $μ_{2}$ . Båda proverna vet man är väntevärdesriktig samt har standardavvikelsen $σ$ . Denna information ska användas för att få en så bra skattning av $μ$ som möjligt.

a) Hur ska konstanterna a och b väljas så att $\overset{\land}{μ}$ = a $μ_{1}$ + b $μ_{2}$ ska bli en väntevärdesriktig skattning av $μ$ ?

b) Hur ska a och b väljas för att skattningen ska vara väntevärdesriktig samt ha minimal varians?

Svaret på fråga a) tänker jag ska vara a = 8b, eftersom koncentrationen är 8 gånger så hög i prov två. Fråga b) vill jag däremot få till att det ska vara så att a $\to$ 0 då jag använder formeln V(x) = $\sum_{i} a_{i}^{2} σ_{i}^{2}$ men det känns som fel svar.

a) Jo ... a=8b ... men jag ska man tänka ett steg till?
$μ = \frac{8}{9} μ_{1} + \frac{1}{9} μ_{2}$

Hej!

Slumpvariabeln $\mu_1$ är en väntevärdesriktig skattning av koncentrationen $\mu$ och slumpvariabeln $\mu_2$ är en väntevärdesriktig skattning av koncentrationen $8\mu$ . För att linjärkombinationen $a\mu_1+b\mu_2$ ska vara en väntevärdesriktig skattning av koncentrationen $\mu$ måste koefficienterna väljas så att

$\displaystyle a+8b=1$ .

Om skattningarna är stokastiskt oberoende av varandra så är linjärkonbinationens varians lika med

$\displaystyle a^2\sigma^2+b^2\sigma^2$ .

Finn de koefficienter $a$ och $b$ som minimerar uttrycket $a^2+b^2$ under bivillkoret att $a + 8 b = 1$ .

Svara