Statistik - medelkvadratsfel (MSE) för en punktskattning

Undrar hur sista likheten i bilden fås? Antar de att punktskattningen $\theta_{obs}^{*}$ är väntevärdesriktig och då blir $E(\theta^{*} - \theta) = 0$ och därför blir mittenprodukten 0 bara?
Bör klargöra att $\theta_{obs}^{*}$ är en observation från stickprovsvariabeln $\theta^{*}$ enligt boken.

latexen vill inte funka, men om man bara utvecklar kvadraten i uttrycket så kommer man se att man får en mittenterm något i stil med 2ab om man väljer lämpliga termer för a och b och om punktskattningen är väntevärdesriktig borde mittentermen bli 0, men de har inte uttryckligen antagit detta så jag vet inte.

$\begin{equation} \begin{split} E[(\theta^{*} - \theta)^{2}] & = E[(\theta^{*} - E(\theta^{*}) + (E(\theta^{*}) - \theta))^{2}] \ & = E[(\theta^{*} - E(\theta^{*})^{2} + 2(\theta^{*} - E(\theta^{*})(E(\theta^{*}) - \theta) + (E(\theta^{*}) - \theta)^{2}] \ &= E[(\theta^{*} - E(\theta^{*})^{2} + (E(\theta^{*}) - \theta)^{2}] \ &= V(\theta^{*}) + (E(\theta^{*}) - \theta)^{2} \end{split} \end{equation}$

Mittentermen blir:

$E [2 (θ^{*} - E (θ^{*})) (E (θ^{*}) - θ)]$

Här kan vi bryta ut dels tvåan, dels hela den andra faktorn som är en konstant.

Så vi får:

$2 (E (θ^{*}) - θ) E (θ^{*} - E (θ^{*}))$

Den andra faktorn i det uttrycket är nu 0, det kanske du kan visa själv.

Smutsmunnen skrev:
Mittentermen blir:

$E [2 (θ^{*} - E (θ^{*})) (E (θ^{*}) - θ)]$

Här kan vi bryta ut dels tvåan, dels hela den andra faktorn som är en konstant.

Så vi får:

$2 (E (θ^{*}) - θ) E (θ^{*} - E (θ^{*}))$

Den andra faktorn i det uttrycket är nu 0, det kanske du kan visa själv.

Ja okej, jag ser varför det blir noll i ditt uttryck. Har däremot en följdfråga, varför kan man se $E(\theta^{*}) - \theta$ som en konstant? Är det för att $E(\theta^{*})$ blir ett tal och därför anses vara en konstant och $\theta$ är bara ett tal också i förhållande till $\theta^{*}$ ?
Jag antar det i grunden handlar om att vi är ute efter MSE av $\theta_{obs}^{*}$ , vilket gör att $\theta^{*}$ anses som variabeln i beräkningen medan allt annat blir bara konstanter?

Det handlar ju egentligen inte om vad du är ute efter utan om vad som är slumpvariabel. Det observerade theta är ju en slumpvariabel. Men parametern theta är det inte, inte heller är ett väntevärde av en slumpvariabel en slumpvariabel.

Svara

Visa senaste svar