Statistik

Hej!

Om alla mätvärden i stickprovet ökar med 2 så kan man se det som att hela stickprovet flyttar sig 2 steg uppåt på tallinjen. Alla värden ändras lika mycket och deras inbördes fördelning blir oförrändrat. Detta innebär att både standardavvikelse och kvartilavståndet (som ju är själva avståndet mellan tredje, 75%, kvartilen  och första, 25% kvartilen) förblir oförändrade. 

Antag att stickprovet är: y₁, y₂, y₃, ... ,y_n där n är stickprovsstorleken.

Medelvärdet x beräknas med:

 $x=\frac{1}{n}\underset{i=1}{\overset{n}{\sum y_i}}=\frac{y_1+y_2+...+y_n}{n}$

Standardavvikelsen s beräknas med:

$s=\sqrt{\frac{\sum _{i=1}^n{(y_i-x)}^2}{n-1}}=\sqrt{\frac{{(y_1-x)}^2+{(y_2-x)}^2+...+{(y_n-x)}^2}{n-1}}$

Antag nu att hela varje mätvärde i stickprovet ökar med 2: Det ny stickprovet blir då

 $y_1+2, y{ }_2+2, y_3+2, ..., y_n+2$

Vi räknar ut det nya medelvärdet, som vi väljer att kalla z:'

$$\begin{gathered} z=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n\left(y_i+2\right)=\frac{(y_1+2)+(y_2+2)+...(y_n+2)}{n}=\left\{Det är n stycket 2or\right\}= \\ =\frac{(y_1+y_2+...y_n)+2n}{n}=\frac{(y_1+y_2+...+y_n)}{n}+\frac{2n}{n}=\left(\frac{1}{n}\underset{i=1}{\overset{n}{\sum y_i}}\right)+2= \\ =\left\{Den första termen är medlvärdet x\right\}= x+2 \end{gathered}$$

Dvs det nya medelvärdet  är z=x+2

Vi använder det nya medelvärdet för att räkna ut den nya standardavvikelsen:

$$\begin{gathered} \sqrt{\frac{\sum _{i=1}^n{(y_i+2-z)}^2}{n-1}}= \left\{Sätt in att z=x+2\right\}=\sqrt{\frac{\sum _{i=1}^n(y_i+2-{(x+2))}^2}{n-1}}= \\ =\sqrt{\frac{\sum _{i=1}^n{(y_i+2-x-2)}^2}{n-1}}=\sqrt{\frac{\sum _{i=1}^n{(y_i-x)}^2}{n-1}} = s \end{gathered}$$