Statistik

Välkommen till Pluggakuten!

Vad har du kommit fram till under alla dessa timmar att fundera på detta problem? Ge oss som hjälper till här något att arbeta med. 

Albiki skrev:

Välkommen till Pluggakuten!

Vad har du kommit fram till under alla dessa timmar att fundera på detta problem? Ge oss som hjälper till här något att arbeta med. 

Hittills har jag endast lyckats få fram svar på fråga A på steg 1 och 2, osäker på om det är rätt. Exponentiell förstod jag inte alls, och vad jag antar är att det blir svårt att lösa uppgift B och C utan alla svar på A. Såhär ser då mina beräkningar ut hittills.

Uppgift a. Du ska bestämma tre sannolikheter $Prob(X>6)$ och $Prob(Y>6)$ och $Prob(P>6)$. 

För $X$ blir beräkningen

    $Prob(X>6) = 1-Prob(X\leq 6) = 1-Prob(Z\leq \frac{6-10}{3}) = 1-Prob(Z\leq -1.33)$

där $Z$ är normalfördelad $N(0,1)$.

För $Y$ blir beräkningen

    $Prob(Y>6) = \frac{7-6}{7-3}.$

För $P$ blir beräkningen

    $Prob(P>6) = e^{-\frac{6}{20}}.$ 

Uppgift b. Den söka variansen och standardavvikelsen kan inte bestämmas med den givna informationen; uppgiftens text säger inget om beroendestrukturen mellan de tre slumpvariablerna $X$ och $Y$ och $P$. 

Tack för dina svar! 

Både uppgift A och B är lösta, resultatet på uppgift B är: 

Uppgift B)

Väntevärde:

μ för steg 1(X) = 10 min

μ för steg 2(Y) = 5 min (7+3/2, formel 61)

μ för steg 3(P) = 20 min

μ för sammanlagd tidsåtgång = 10 + 5 + 20 = 35 min

Varians:
Formel 31: Var(X+Y+P)= Var(X) + Var(Y) + Var(P ) =

Var(X)= 3^2 = 9

Var(Y)= (7-3)^2/12 ≈ 1,3

Var(P) = 20^2 =4009 + 1,3 + 400 = 410,3

Standardavvikelse:

410,3 ≈ 20,3 min

Den sammanlagda tiden är då 35 min, men hur tar jag då tillväga när jag vill räkna ut uppgift C, vad för metoder använder jag? 
Jag har gjort 100 000 simuleringar/testfall. Är det konfidensintervall som gäller? Skattar jag? Osäker på vad nästa steg är.

Beräkningarna du gjort i Uppgift b stämmer bara om slumpvariablerna X och Y och P är oberoende, men inget i uppgiftstexten tyder på att de är det; därför går det inte att beräkna variansen och standardavvikelsen som du gjort. 

Eftersom  det inte finns information om det, så gjorde jag ett antagande som jag tänkte förklara i min uppgiftsrapport, min föreläsare trycker mycket på att antagande måste göras, men att det måste finnas en tydlig förklaring bakom. Så med antagandet att de är oberoende, stämmer det jag gjort?

Föreläsaren har en poäng, men vad skulle förklaringen i detta fall vara? Att det blir enklare att beräkna om slumpvariablerna är oberoende? Då kan man lika gärna anta att slumpvariablerna har samma fördelning, exempelvis N(10,3), för att göra det riktigt enkelt för sig. Det skulle särskilt underlätta vid lösning av Uppgift c ...

Albiki skrev:

Föreläsaren har en poäng, men vad skulle förklaringen i detta fall vara? Att det blir enklare att beräkna om slumpvariablerna är oberoende? Då kan man lika gärna anta att slumpvariablerna har samma fördelning, exempelvis N(10,3), för att göra det riktigt enkelt för sig. Det skulle särskilt underlätta vid lösning av Uppgift c ...

Enligt föreläsaren så ska inte uppgift C gå att lösa utan programmet Minitab, vilket för mig låter att det inte ska vara så lätt som det bara kan bli? Jag hade min sista handledning för någon dag sedan där handledaren sa att jag borde simulera 100 000 slumpmässiga utfall, och sedan göra ett diagram, det enda jag riktigt fick ut av det är att jag INTE ska använda diagram för normalfördelning. Han hade då sett det jag gjort, vilket är steg A och B och ansåg inte att det var fel, vilket tyder på att antagandet att de är oberoende inte riktigt är något "fel", utan något som är acceptabelt. Dessutom var idén att skapa 100 00 simuleringar hans.  Hur jag listar ut nästa steg är väldigt oklart för mig. Jag tror handledaren nämnde något om att skatta, men osäker på vad exakt han menar.

Uppgift b. Om tiderna $X$, $Y$ och $P$ är oberoende så beräknas variansen för den totala tidsåtgången $X+Y+P$ som summan av de enskilda tidernas varianser.

    $\text{Var}(X+Y+P) = \text{Var}(X)+\text{Var}(Y)+\text{Var}(P).$

För $X$ är variansen $\text{Var}(X) = 3^2 = 9$ och för $P$ är variansen $\text{Var}(P) = \frac{1}{\lambda^2} = 20^2 = 400$. För den likformigt fördelade tiden $Y$ är variansen $\text{Var}(Y) = \frac{(7-3)^2}{12} = 4/3$, så att den sökta variansen är summan

    $\text{Var}(X+Y+P)=9+400+\frac{4}{3} =\frac{1231}{3}$ minuterkvadrat. 

Uppgift c. Du vill beräkna sannolikheten $\text{Prob}(X+Y+P\geq 18).$

Om du simulerar $n$ stycken värden ($x_i$) från normalfördelningen $N(\mu,\sigma)$ (vars väntevärde är $\mu$ och vars varians är $\sigma^2$) och $n$ stycken värden ($y_i$) från den likformiga fördelningen $\text{Uni}([3,7])$ och $n$ stycken värden ($p_i$) från exponentialfördelningen $\text{Exp}(\lambda)$ (vars väntevärde är $1/\lambda$) så noterar du hur många av summorna  $x_i+y_i+p_i$ som överstiger 18 minuter. Detta antal dividerat med $n$ är en skattning av den sökta sannolikheten.

    $\text{Prob}(X+Y+P\geq 18) \approx \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}1_{\{x_i+y_i+p_i\geq18\}}$

där indikatorvariabeln $1_{\{x_i+y_i+p_i\geq18\}}$ är lika med $1$ om $x_i+y_i+p_i\geq 18$ och är lika med $0$ annars.

Enligt Stora talens lag kommer slumpvariabeln $\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}1_{\{x_i+y_i+p_i\geq18\}}$ att konvergera nästan-säkert mot den sökta sannolikheten när $n \to \infty.$

Tack för hjälpen, ska försöka mig på det!