Statisk obestämd balk

v är utböjningen, alltså hur mycket balkens ände "hänger ner". Det är en längd, alltså har v enheten meter.

v är en funktion (dvs v beror av) balkens längd L, materielets elasticitetsmodul E, och I och P som du nog kan bättre än jag.

Vilken enhet har L, E, I och P? L har ju enheten meter, men vilken enhet har de andra? Hur skall du placera dem i täljare och nämnare för att resultatet skall ha rätt enhet för utböjningen? Rätt enhet är meter, som jag skrev allra först.

En dimensionslös konstant har ingen enhet alls. Inte meter, inte Newton per meter, ingen enhet alls.

Exempel: pi har värdet 3.14159265... , ingen enhet.

Denna är inte statiskt obestämd, bör påpekas. Använd hursomhelst förslagsvis $m,s,N$-systemet och skriv ut:

$[L]= m$

$\left[E\right]=\dfrac{N}{m^2}$

$[I]=m^4$

$[P]=N$

Där [...] betyder "enheten av ..." och sedan kan du göra som Bubo skrev och bolla med potenser för att få VL = HL i termer av enheter.

Tack, om jag förstått det rätt så ska man se till och få rätt enhet, meter. Men vad har den dimensionlösa konstanten för roll i uppgiften? Den förvirrar mig litegrann…

Inte bara rätt enhet utan du måste också fundera lite på om till exempel längre längd innebär mer nedböjning osv.

Konstanten spelar ingen roll för lösning av uppgiften men för att beskriva ett faktiskt samband måste den finnas. Vad menar du egentligen är problemet? Vad förvirrar dig? I det här fallet är:

$C_1 =\dfrac{1}{3}$

Hur kan man se att C1 är en tredjedel?

jag gjorde på detta sättet, och tydligen blev det rätt enhet iallafall. Fanns inget facit till detta dock.

Matte98 skrev:

Hur kan man se att C1 är en tredjedel?

Det bara är så. Du kan härleda det med elastiska linjens ekvation eller kolla i "fall 8 i appendix B" som det står i uppgiften.

jag gjorde på detta sättet, och tydligen blev det rätt enhet iallafall. Fanns inget facit till detta dock.

Facit har du under "fall 8 i appendix B".

Tänk nu på vad du gör, lite, är det rimligt att nedböjningen ökar när Elasticitetsmodulen $E$ ökar? Är det rimligt att nedböjningen minskar om kraften $P$ ökar?

Du har rätt enhet, ja, men det är helt åt skogen rent fysikaliskt. Du vet att en längre längd på konsolbalken ger mer nedböjning intuitivt men din ekvation säger att:

$v \propto \dfrac{1}{L}$

Detta säger att om du ökar längden minskar nedböjningen. Är det rimligt?

Hmm, jag förstår vad du menar. Det blev lite tokigt eftersom jag inte tog hänsyn till storheternas påverkan.

En annan sak jag satt nu och funderade över, ökar nedböjningen om materialet är mindre elastisk? Känns som nedböjningen borde öka när materialet är mer elastisk, dvs högre E-modul.

Nja, vad beskriver Elasticitetsmodulen? Kom ihåg var du får den ifrån. I dragprov definieras den som lutningen i det elastiska området mellan spänning och töjning eller:

$E = \dfrac{\sigma}{\epsilon}$

Detta innebär således att den är ett mått på ... ?

Hmm, mått på hur linjär elastisk materialet är?

Nej, det blir ett mått på styvheten. Alltså motståndet mot deformation. Detta därför att om $E$ ökar betyder det att du behöver en högre spänning $\sigma$ för att uppnå en given töjning $\epsilon$.

Detta betyder i sin tur att vid böjning, som är tension och kompression kring neutrallagret, kommer elasticitetsmodulen motverka nedböjningen.

Jämför med Hookes lag:

$F = kx$

Här är fjäderkonstanten ett mått på fjäderns styvhet eller motstånd till dragning. Jämför med:

$\sigma = E \epsilon$

Hmm, så elasticitetsmodulen kan ses som ett motstånd mot nedböjningen. Fast styvhet och elasticitetsmodulen är väl inte samma sak? Eftersom styvhet är N/m

Styvhet är en extern egenskap för ett system samtidigt som elasticitetsmodulen är en intrinsisk materialegenskap. 

I vårt system för en konsolbalk blir styvheten definierad som:

$k = \dfrac{EI}{L^3}$

Där vi förstår att om tvärsnittet och längden på balken är konstant är det elasticitetsmodulen som direkt är ansvarig för styvheten hos balken.

Vidare är det så att i vår diskussion är det variation av specifika storheter och dess inverkan på nedböjningen som är i fokus. Detta innebär att i styvheten ovan är per definition längden $L$ och areamomentet $I$ konstant.

Tack så mycket för hjälpen! :D