Stationära punkter i två variabler med element e

Hej!

Jag har följande funktion $f (x, y) = (x^{2} - y^{2}) e^{- 2 x + y}$ $, x \geq 0$

där man ska beräkna max och min värde samt stationära punkter om de finns.

Jag börjar med inre och yttre partiell derivering utav båda fallen

$f_{x}' = \frac{d}{d x} (x^{2} - y^{2}) + \frac{d}{d x} e^{- 2 x + y} = 2 x \times - 2 x e^{- 2 x + y} = - 4 x e^{- 2 x + y} f_{y}' = \frac{d}{d y} (x^{2} - y^{2}) + \frac{d}{d y} e^{- 2 x + y} = - 2 y \times e^{- 2 x + y} = - 2 y e^{- 2 x + y}$

Jag har ingen bra erfarenhet när det gäller elementet $e$ i beräkning av stationära punkter.
Facit till uppgiften säger att $(x^{2} - y^{2}) e^{- 2 x + y} = 0 I punkten (x, y) = (0, 0)$ vilket är en sadelpunkt och det är ganska självklart för mig.
Men sedan säger facit att $(x^{2} - y^{2}) e^{- 2 x + y} = \frac{4}{3 e^{2}} I punkten (x, y) = (\frac{4}{3}, \frac{2}{3})$

Hur får jag fram det? Logiskt sätt borde jag kunna få fram det genom att lösa ut x eller y i en utav partiell derivatorna och sätta in värdet i den andra partiell derivatan men jag har fastnat helt.

Det skulle vara väl uppskattat om jag kunde få vägledning med detta problem! :)

Undrar om du inte missat lite i deriveringen. Derivatan av en produkt (i detta fall $\underset{⏟}{(x^{2} - y^{2})} \times \underset{⏟}{e^{- 2 x + y}}$ ) ges av $f_{x}^{'} = (\frac{d}{d x} (x^{2} - y^{2})) \times e^{- 2 x + y} + (x^{2} - y^{2}) (\frac{d}{d x} e^{- 2 x + y})$ , (och motsvarande för derivering av m.a.p. y) och i dessa termer kommer en del inre derivator med.

Kommer du framåt då? Vad man t.ex. vet är att "e upphöjt till ..." aldrig kan vara noll.

Ja det gör jag, jag ser vad jag har missat.

Jag får då att

$f_{x}' = (\frac{d}{d x} (x^{2} - y^{2})) \times e^{- 2 x + y} + (x^{2} - y^{2}) (\frac{d}{d x} e^{- 2 x + y}) = - 2 x^{2} e^{- 2 x + y} + 2 y^{2} e^{- 2 x + y} + 2 x e^{- 2 x + y} f_{y}' = (\frac{d}{d y} (x^{2} - y^{2})) \times e^{- 2 x + y} + (x^{2} - y^{2}) (\frac{d}{d y} e^{- 2 x + y}) = x^{2} e^{- 2 x + y} - y^{2} e^{- 2 x + y} - 2 y e^{- 2 x + y}$

samma sak som

$f_{x}' = e^{- 2 x + y} (- 2 x^{2} + 2 y^{2} + 2 x) f_{y}' = e^{- 2 x + y} (x^{2} - y^{2} - 2 y)$

nu är jag nog på rätt väg men det ser mer krångligt nu, ska jag genomföra variabel substitut?

Hej!

Nej. Prova med kvadratkomplettering.

Albiki

Inte alls säker på hur man gör det, antar att jag ska göra det på de inom parenteserna i partiell derivatorna

$f_{x}' = e^{- 2 x + y} (- 2 (x - \frac{1}{2})^{2} + 2 y^{2} + \frac{1}{2}) f_{y}' = e^{- 2 x + y} (x^{2} - (y + 1)^{2} + 1)$

är det så du menar Albiki?

Du har missat att kvadrera ½ sist i den första parentesen.

Har du kommit fram till önskat svar?

Eftersom det är uttrycken inom parentes som måste vara noll har du två ekvationer (har dividerat första med 2 för att få det lite enklare):

$(1) - x^{2} + y^{2} + x = 0$

$(2) x^{2} - y^{2} - 2 y = 0$

Addera dessa ekvationer så får du ett enkelt samband mellan x och y. Använd sedan det sambandet i någon av de två ekvationerna (1) eller (2). Då borde du få fram två lösningspar (x,y).

dobedidoo skrev :
Har du kommit fram till önskat svar?
Eftersom det är uttrycken inom parentes som måste vara noll har du två ekvationer (har dividerat första med 2 för att få det lite enklare):
$(1) - x^{2} + y^{2} + x = 0$
$(2) x^{2} - y^{2} - 2 y = 0$
Addera dessa ekvationer så får du ett enkelt samband mellan x och y. Använd sedan det sambandet i någon av de två ekvationerna (1) eller (2). Då borde du få fram två lösningspar (x,y).

Menar du att ekvation (1) och (2) sätts lika med varandra eller att de verkligen adderas som $- x^{2} + y^{2} + x + x^{2} - y^{2} - 2 y$ ?

Om det är som sista får jag ut $x - 2 y$ . kan jag då sätta $x = 2 y, \frac{x}{2} = y$ .

sätter jag det i t.ex. första ekvationen (1) så får jag: $- x^{2} + (\frac{x}{2})^{2} + x = 0 \to x - \frac{3 x^{2}}{4} = 0 2 y^{2} - y^{2} - 2 y = 0 \to y^{2} - 2 y = 0$

Sedan vet jag inte hur jag ska gå vidare

Vad jag menade med att "addera ekvationer" var att addera resp. sidor och sätta dessa summor lika. Om vi kallar vänster sida i (1) för VL1 och höger sida kallar vi för HL1. På samma sätt gör vi med (2) där vi benämner sidorna VL2 och HL2.

(1) säger då att VL1 = HL1 medan (2) säger att VL2 = HL2. Då kanske du är med på att VL1 + VL2 = HL1 + HL2? Skriver vi nu detta sista som en ekvation, där vi byter ut VL1, VL2 HL1 och HL2 mot deras "betydelser" (från (1) och (2)) får vi att

$\underset{V L 1}{\underset{⏟}{(- x^{2} + y^{2} + x)}} + \underset{V L 2}{\underset{⏟}{(x^{2} - y^{2} - 2 y)}} = \underset{H L 1}{\underset{⏟}{0}} + \underset{H L 2}{\underset{⏟}{0}} = 0$ . Detta kan vi förenkla till $x - 2 y = 0$ , som ju var vad du fick (fast du hade nog behövt vara lite tydligare i hur du kom fram till detta samband som en "ekvation").

Hur som helst, du är ju nästan framme: Du kom fram till att $x - \frac{3 x^{2}}{4} = 0$ . Om du löser den får du två möjliga x. Dessa kan du sedan använda i $x - 2 y = 0$ för att få motsvarande två möjliga y.

Svara

Visa senaste svar