Stationära punkter, funktion utav 4 variabler.

Funktionen $f (x, y, z, w) = x + y + z + w$ där bivillkoret är $x y z w = 1$ .

Vet att att man kan använda Lagrange funktion för att beräkna med tre variabler. applicering ger då

$L = x + y + z + w + λ (x y z w - 1) f_{x}' = λ y z w + 1 \leftrightarrow λ = - \frac{1}{y z w} f_{y}' = λ x z w + 1 \leftrightarrow λ = - \frac{1}{x z w} f_{z}' = λ x y w + 1 \leftrightarrow λ = - \frac{1}{x y w} f_{y}' = λ x y z + 1 \leftrightarrow λ = - \frac{1}{x y z} f_{λ}' = λ (x y z w - 1)$

Är detta rätt väg att gå?

Hur gör jag härnäst?

Förklaring och härledning skulle vara trevligt!

Många år sedan jag pysslade flervariabelanalys, så t.ex. detta med Lagrangefunktioner minns jag inte mycket av. Därför, risk för feltänk från min sida. Dock, detta är vad jag tror...

Jag tycker det ser ut som om du börjat vettigt. Sedan kan du kanske använda t.ex. resultaten $λ = - \frac{1}{y z w}$ tillsammans med $λ = - \frac{1}{x z w}$ och se att detta ger x = y. På så vis kan man kombinera de fyra resultaten från ${f_{x}}^{'}, {f_{y}}^{'}, {f_{z}}^{'}$ och ${f_{w}}^{'}$ för att komma fram till att $x = y = z = w$ . Sedan har du bivillkoret $x y z w = 1$ , vilket i så fall ger lösningar av typen $x^{4} = 1$ . Så, $x = y = z = w = \pm 1$ samt (om det är av intresse) $x = y = z = w = \pm i$ .

Observera det lilla skrivfelet på ditt femte samband - borde väl vara ${f_{w}}^{'} = . . .$ gissar jag), samt att ${f_{λ}}^{'} = λ (x y z w - 1)$ nog borde skrivas endast ${f_{λ}}^{'} = x y z w - 1 = 0$ , dvs. det givna bivillkoret. Eller, kanske missar jag något?

Måhända inte mycket till svar, men det var ett försök i alla fall.

Instämmer med dobedidoo i allt. Om man vill avgöra om det är lokalt max eller min är det kanske bättre att strunta i Lagrange och i stället sätta in 1/xyz i stället för w. Sen kan man beräkna första- och andraderivatorna på vanligt sätt.

Svara