stationära processer

Hej!

Jag har fortfarande en del problem med att förstå stokastiska processer. Ett exempel jag har funderat på är:

Anta att vi har den stokastiska processen: X(t) = Ycos(t+Z), Z är uniform distruberad på intervallet (-pi, pi) och Y är uniform distuberad på intervallet (-A, A), Z och Y är oberoende. Då får jag följande:

E[X(t)] = 0 och autocorrelationen är $R_{X} (t, s) = \frac{A^{2}}{6} \cos (t - s)$

Alltså uppfyller processen kraven för att klassas som wide sense stationary (WSS). WSS innebär ju också att:

F_X(x1, x2; t1, t2) = P(X1(t1)<x1, X2(t1)<x2) = P(X1(t1+c)<x1, X2(t1+c)<x2) = F_X(x1, x2; t1+c;t2+c)

för någon konstant c.

Vilket i sin tur borde innebär:

$F_{X} (x 1, x 2; t 1, t 2) = \int_{- \infty}^{x 1} \int_{- \infty}^{x 2} f_{X} (u, v; t 1, t 2) d u d v = \int_{- \infty}^{x 1} \int_{- \infty}^{x 2} f_{X} (u, v; t 1 + c, t 2 + c) d u d v = F_{X} (x 1, x 2; t 1 + c, t 2 + c)$

Kan jag hitta, och i så fall hur hittar jag funktionen: $f_{X} (u, v; t 1 + c, t 2 + c) d u d v$ i det här fallet?

Tack på förhand!

Nu har jag läst och funderat lite till på det här:

Först och främst verkar det inte finnas något allmänt sätt att bestämma täthetsfunktionen för Z om man t.ex har:

Z=g(X,Y).

Jag läste sen i kommentererna på följande inlägg att the joint distribution inte alltid har en täthetsfunktion:

https://math.stackexchange.com/questions/3770932/finding-the-joint-probability-density-function-of-two-independent-random-variabl

Sen läste jag i en annan tråd att variabler kan ha en CDF utan att ha en täthetsfunktion:

https://stats.stackexchange.com/questions/497897/random-variable-without-pdf-but-with-a-cdf

I boken vi har så definierar man "n-th order distribution" som:

$F_{X} (x_{1}, . . ., x_{n}; t_{1}, . . ., t_{n}) = P {X (t_{1}) \leq x_{1}, . . ., X (t_{n}) \leq x_{n}}$

och man säger att "the continious-time process X(t) is specified by a collection of pdf's":

$f_{X} (x_{1}, . . ., x_{n} : t_{1}, . . ., t_{n}) = \frac{\partial^{n} F_{X} (x_{1}, . . ., x_{n}; t_{1}, . . ., t_{n})}{\partial x_{1} . . . \partial x_{n}}$

Menar man att $f_{X} (x_{1}, . . ., x_{n} : t_{1}, . . ., t_{n})$ är the joint density function för {X(t1), ..., X(tn)}?

Och hur kan man i så fall, utan omsvep, säga så? Kan det inte vara så att dom saknar en joint density function?

Det kan vara så att de saknar en joint density function men antagligen är det ett outtalat antagande i din bok att ni endast kommer att hålla på med sådana processer som det finns täthetsfunktioner för.

Svara