Stationär punkt & extrempunkt

Hej!

Uppgift:

Bestäm alla lokala extrempunkter till

$f (x, y) = x^{3} y^{2} + 27 x y + 27 y$

Lösning:

$\{\begin{cases} f'_{x} = 3 x^{2} y^{2} + 27 y \\ f'_{y} = 2 x^{3} y + 27 x + 27 \end{cases} \{\begin{cases} f'_{x} = 0 \\ f'_{y} = 0 \end{cases} \Leftarrow \{\begin{cases} 3 x^{2} y = - 27 \\ 2 x^{3} y + 27 x = - 27 \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} y = - \frac{9}{x^{2}} \\ 3 x^{2} y = 2 x^{3} y + 27 x \end{cases} \Rightarrow 27 = - 9 x \Rightarrow \{\begin{cases} x_{1} = - 3 \\ y_{1} = - 1 \end{cases}$

Då vet vi att vi har en stationär punkt (-3, -1).

Vi ser också att

$\{\begin{cases} x_{2} = - 1 \\ y_{2} = 0 \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} f'_{x} = 0 \\ f'_{y} = 0 \end{cases}$

och vi har en andra stationär punkt, nämligen (-1, 0).

Nu till min fråga:

Hur bestämmer jag huruvida en stationär punkt också är en extrempunkt?

Precis som för funktioner i en variabel får du använda andra ordningens derivator.

Om du taylorutvecklar f(x,y) runt (x,y) får du

$f (x + h, y + k) = f (x, y) + h f'_{x} (x, y) + k f'_{y} (x, y) + h^{2} f''_{x x} (x, y) + 2 h k f''_{x y} (x, y) + {k^{2}}_{y y} (x, y) + . . . = = [s t a t i o n ä r] = = f (x, y) + h^{2} f''_{x x} (x, y) + 2 h k f''_{x y} (x, y) + {k^{2}}_{y y} (x, y) + . . .$

Du får därför en maximipunkt om den kvadratiska formen $Q (h, k) = h^{2} f''_{x x} (x, y) + 2 h k f''_{x y} (x, y) + {k^{2}}_{y y} (x, y)$ är strängt negativ, minimipunkt om den är negativ och sadelpunkt om den antar både positiva och negativa värden.

Om den antar värdet noll, men inte både positiva och negativa värden, räcker itne den här metoden.

Svara