Stänga in sinusfunktion

Hej, 

jag ska avgöra om funktionen g(x) är kontinuerlig i x=0 om:

$g\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}\sqrt{x}*\sin \left(\frac{1}{x}\right) då x>0\\ x^2 då x\le 0\end{array}\right.$

Eftersom att en funktion är kontinuerlig om gränsvärdet är samma då x går mot noll (och detta är lika med (f(0)) vill jag undersöka då g(x) går mot 0 från höger. 

$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\sqrt{x}\sin \left(\frac{1}{x}\right)=\left\{\begin{array}{l}t=\frac{1}{x} \iff \\ t\Rightarrow \infty \iff \end{array}\right.\left.\begin{array}{r}x=\frac{1}{t}\\ x\to 0^{+}\end{array}\right\}=\underset{t\to \infty }{\lim }\frac{1}{\sqrt{t}}*\sin \left(t\right)$

Efter som att sinus är periodisk kommer sin(t) inte få ett egentligt gränsvärde, och jag vill därav stänga in funktionen mha instängninssatsen:

$$\begin{gathered} -1\le \sin x\le 1 \iff -\frac{1}{x} \le \frac{\sin \left(x\right)}{x}\le \frac{1}{x} \\ Då x\to \infty kommer -\frac{1}{x} respektive \frac{1}{x} att gå mot 0. Därav stängs \frac{\sin \left(x\right)}{x} \\ in mellan funktionerna och går också mot 0 då x\to \infty \end{gathered}$$

Sedan tänkte jag att detta skulle sättas in i funktionen då t går mot oändligheten:

$\underset{t\to \infty }{\lim }\frac{1}{\sqrt{t}}*\frac{\sin \left(t\right)}{t}*\frac{t}{1}=\hspace{0.17em}"0*\infty "$

Men detta ger ju inte ett gränsvärde, utan ett farligt fall? Hur kan jag tänka annorlunda?