Stänga in cos x
Sitter med följande uppgift:
I beräkningen av gränsvärdet av (sinx)/x använde vi att limx→0cosx=1. Detta kan tyckas självklart, men hur bevisar man det egentligen?
(Ledning: Det finns många olika sätt. Ett bygger t ex på att |sinx|≤|x| och formeln för halva vinkeln för sinus.)
Har lite svårt att komma igång. Kan det vara så att om halva vinkeln för sinus är sinx/2=1-cosx2 så kan jag använda instängningslagen och "klämma in" cosx på något sätt?
Gränsvärden beräknar vi vanligen när det är något trassel, obestämda uttryck av typen ”0/0”, 1oändligheten eller liknande. När det gäller cos0 finns det inget som stör så då får man tänka i nya banor.
Hur definieras cosx ? Det finns geometriska definitioner, t ex kan man betrakta projektionen på x-axeln av en punkt på enhetscirkeln som går mot (1, 0). För varje epsilon > 0 kan vi flytta punkten så att projektionens x-koordinat är större än 1–epsilon. Utifrån det borde man kunna genomföra ett stringent bevis.
Sedan kanske man kan välja att definiera cosx som 1–x2/2+x4/24–… Det är ju en litet krokig definition, men formellt borde den fungera. Med hjälp av alternerande serier ser vi att för små x gäller 1–x2/2 < cosx ≤ 1.
Är det svar på din fråga?
