Stänga in cos x

Sitter med följande uppgift:
I beräkningen av gränsvärdet av $(\sin{x})/x$ använde vi att $\lim{x→0}\cos{x}=1$ . Detta kan tyckas självklart, men hur bevisar man det egentligen?
(Ledning: Det finns många olika sätt. Ett bygger t ex på att $|\sin{x}|≤|x|$ och formeln för halva vinkeln för sinus.)

Har lite svårt att komma igång. Kan det vara så att om halva vinkeln för sinus är $\sin{x/2}=\frac{1-\cos{x}}{2}$ så kan jag använda instängningslagen och "klämma in" $\cos{x}$ på något sätt?

Gränsvärden beräknar vi vanligen när det är något trassel, obestämda uttryck av typen ”0/0”, 1^{oändligheten} eller liknande. När det gäller cos0 finns det inget som stör så då får man tänka i nya banor.

Hur definieras cosx ? Det finns geometriska definitioner, t ex kan man betrakta projektionen på x-axeln av en punkt på enhetscirkeln som går mot (1, 0). För varje epsilon > 0 kan vi flytta punkten så att projektionens x-koordinat är större än 1–epsilon. Utifrån det borde man kunna genomföra ett stringent bevis.

Sedan kanske man kan välja att definiera cosx som 1–x²/2+x⁴/24–… Det är ju en litet krokig definition, men formellt borde den fungera. Med hjälp av alternerande serier ser vi att för små x gäller 1–x²/2 < cosx ≤ 1.

Är det svar på din fråga?

Svara