Standardsubstitution

Menar du vad man gör med $dx$ i $\int f(x) dx$  vid substitution?

Då nyttjar man kedjeregeln

$dx = \frac{dx}{dy}dy$

och substituerar $dx$ med det uttrycket man får vid $\frac{dx}{dy} dy$. Differentialen man får kan alltså vara symboliskt ganska komplicerad om man har otur.

Men som alltid är det bra att utgå från några konkreta problem.

Här:

Hur kan man fixa dessa problem med substitutionen som $x = a\tan(y)$?

Varför vill du integrera talet med en substitution? Använd det du bevisat i a) för att hitta en primitiv till $f\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{x^2+16}}$ istället. :)

Det är inte det jag frågar om :)

Vad får du om du provar med x = a*tan(y)? dx = ...*dy

Du blir också av med rottecknet med

x = a*cosh(y)? dx = ...*dy

Prova båda!

Jag blir av med rottecken. Men däremot, jag blir "på" med en massa saker som jag kan inte vara av med. 

(Herregud det var forfarligt grammatik)

$$\begin{gathered} \int \frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}} \\ \sqrt{x^2+a^2}=a\tan \left(y\right) \leftrightarrow arc\tan \left(\frac{\sqrt{x^2+a^2}}{a}\right) = y \\ \frac{dy}{dx}=\frac{1}{1+\frac{x^2+a^2}{a}}·\frac{2x}{a} \end{gathered}$$

Det är som den värsta skorv i ett litet barns huvud! Försök bara att borsta den bort, det är helt omöjligt!

Arabisk cos (cosh) har vi inte misshandlat så mycket i denna kurs, så jag vill gärna fatta först med tangent.

dajamanté skrev:

Det är inte det jag frågar om :)

Om du låter $x=a\cdot \tan y$ så blir

    $dx = a\cdot (1+\tan^2y) dy \iff a\,dx = (a^2+x^2)\,dy$

och integralen kan skrivas 

    $\int\frac{1}{a\sqrt{a^2+x^2}}a\,dx = \frac{1}{a}\int\sqrt{a^2+x^2(y)}\,dy = sign(a)\cdot\int\sqrt{1+\tan^2y}\,dy$.

Trigonometriska ettan visar att

    $1+\tan^2y=\frac{1}{\cos^2y}$

så att integralen är

    $\int\frac{1}{|\cos y|}\,dy$.

Albiki skrev:

dajamanté skrev:

Det är inte det jag frågar om :)

Om du låter $x=a\cdot \tan y$ så blir

    $dx = a\cdot (1+\tan^2y) dy \iff a\,dx = (a^2+x^2)\,dy$

och integralen kan skrivas 

    $\int\frac{1}{a\sqrt{a^2+x^2}}a\,dx = \frac{1}{a}\int\sqrt{a^2+x^2(y)}\,dy = sign(a)\cdot\int\sqrt{1+\tan^2y}\,dy$.

Tack Albiki, försöker återkomma lite senare idag...

Albiki skrev:

dajamanté skrev:

Det är inte det jag frågar om :)

Om du låter $x=a\cdot \tan y$ så blir

    $dx = a\cdot (1+\tan^2y) dy \iff a\,dx = (a^2+x^2)\,dy$

Om $x = a \tan y$, jag förstår inte varför $\frac{dx}{dy} = \frac{a}{{\displaystyle {\cos }^2}{\displaystyle y}} \to dx = \frac{a dy}{{\displaystyle {\cos }^2}{\displaystyle y}}$?

EDIT : Jag märkte att jag var nöjd med svaret av misstag!

Jag är jättenöjd mer era svar, men vi måste fortfarande klura ut den här!