standardgränsvärde för ln(1+x)x, har x/ln(1+x) också samma gränsvärde?

Hej!

I beviset för $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^x-1}{x}=1$

har man i min lärobok använd sig av att $x = \ln (1+y), där y = e^x-1$. Man ser att både y och x går mot noll då x respektive y går mot noll. Då kan vi skriva om uttrycket ovan som

$\frac{e^x-1}{x}= \frac{y}{\ln (1+y)}$

Och man säger att det sista uttrycket går mot 1 då x --> 1 pga standardgränsvärdet

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\ln (1+x)}{x}=1$. Hur är det så att detta gränsvärde är lika som gränsvärdet i högerleder ovan? (de har ju bytt plats på täljare och nämnare)