Standardavvikelse

Det där med n-1 har orsakat många kriser för statistikstudenter. Jag kanske inte förklarar det bättre än någon annan, men ozonhalterna är olika på olika platser, det betyder att för att få reda på den sanna standardavvikelsen skulle vi behöva mäta varje punkt  i hela Sverige, vilket såklart är omöjligt. I stället tar vi ett Stickprov. Med det kan vi Skatta den verkliga standardavvikelsen. Gräver man ned sig i teoretiska uträkningar så ser man att en skattning där man delar med n är litet för liten.

En bättre skattning fås med nämnaren n–1. Detta gäller för just stickprov.

Standardavvikelsen är ett mått på hur spridda data är kring medelvärdet. Det är vanligtvis svårt att beräkna standardavvikelsen för en hel population, så man brukar använda sig av ett stickprov istället. När man beräknar standardavvikelsen för ett stickprov, använder man $n-1$ istället för $n$ i den sista delen av beräkningen för att kompensera för bias som uppstår när man endast tar ett stickprov av populationen.För att beräkna standardavvikelsen för hand, börjar man med att räkna ut medelvärdet för stickprovet.

Låt $x_1, x_2, ..., x_n$ vara mätvärdena och $m$ vara medelvärdet, så kan man räkna ut medelvärdet genom att addera alla mätvärden och dividera med antalet mätvärden:

$m = \frac{x_1 + x_2 + ... + x_n}{n}$

Sedan, för varje mätvärde $x_i$, beräkna $(x_i - m)^2$ och addera alla dessa värden: $(x_1 - m)^2 + (x_2 - m)^2 + ... + (x_n - m)^2$

Dela sedan det totala värdet på $n-1$ och ta roten ur resultatet för att få standardavvikelsen:

$\sigma = \sqrt{\frac{(x_1 - m)^2 + (x_2 - m)^2 + ... + (x_n - m)^2}{n-1}}$

För dina mätvärden: 80, 125, 68, 104, 70, 60, 95

medelvärdet = $\frac{(80+125+68+104+70+60+95)}{7} = 86$

$(80-86)^2 + (125-86)^2 + (68-86)^2 + (104-86)^2 + (70-86)^2 + (60-86)^2 + (95-86)^2 = 3218$

standardavvikelsen = $\sqrt{\frac{3218}{7-1}}$ = $\sqrt{\frac{3218}{6}}$ ≈ 23

Så svaret är 23.

Det är vanligt att använda en räknare eller statistikverktyg för att beräkna standardavvikelsen, eftersom det kan vara svårt att göra det för hand med många mätvärden. Men det är viktigt att känna till hur det beräknas och varför man använder $n-1$.