Standard gränsvärden

Du har alltså hittat ett värde på $\omega$ som gör att påståendet gäller, d.v.s. man kan välja $\omega = \sqrt{\frac{1}{\epsilon^2 + 2\epsilon}}$ (eller större).

Själva påståendet "Till varje tal $\epsilon > 0$ finns ett tal $\omega$ sådant att  $|f(x) - L| < \epsilon$ då $x > \omega$"  är ju definitionen av gränsvärdet då $x\to \infty$.

Eftersom du hittat ett värde på $\omega$ till varje positivt tal $\epsilon$, så har du bevisat att $\lim_{x\to\infty} \frac{\sqrt{x^2+1}}{x} = 1$ m.h.a. definitionen av gränsvärdet.

LuMa07 skrev:

Du har alltså hittat ett värde på $\omega$ som gör att påståendet gäller, d.v.s. man kan välja $\omega = \sqrt{\frac{1}{\epsilon^2 + 2\epsilon}}$ (eller större).

 

Själva påståendet "Till varje tal $\epsilon > 0$ finns ett tal $\omega$ sådant att  $|f(x) - L| < \epsilon$ då $x > \omega$"  är ju definitionen av gränsvärdet då $x\to \infty$.

 

Eftersom du hittat ett värde på $\omega$ till varje positivt tal $\epsilon$, så har du bevisat att $\lim_{x\to\infty} \frac{\sqrt{x^2+1}}{x} = 1$ m.h.a. definitionen av gränsvärdet.

Svaret i facit var dock  ω = 1/∈

Man ska hitta något värde på $\omega$ som gör att påståendet stämmer.

Du har hittat det bästa möjliga värdet på $\omega$. Det finns inget mindre $\omega$ som skulle funka i påståendet.

Om man hittat något $\omega$ så har man alltid frihet att välja ett större värde istället. Facit säger $1/\epsilon$, vilket är större än det optimala $\omega$ du själv hittat, så det funkar också.

Definitionen av gränsvärdet då $x\to\infty$ säger att funktionskurvans $y$-värden ska ligga i remsan $1-\epsilon < y < 1+\epsilon$ för alla $x$-värden som är tillräckligt stora. Vad som menas med "tillräckligt stora" anges m.h.a. talet $\omega$, nämligen alla $x$ som ligger till höger om $\omega$ anses vara tillräckligt stora.

Du har bevisat att alla $x > 1/\sqrt{\epsilon^2 + 2\epsilon}$ faktiskt är tillräckligt stora. Facit är inte lika noggrann med att hitta den optimala gränsen som $x$ behöver överstiga.

Aha, tack så mycket