Stämmer mitt induktionsbevis?

Uppgiften lyder:

Bestäm en sluten formel för den n:te summan då  $S_n=\frac{1}{2}+\frac{1}{2·3}+\frac{1}{3·4}+...+\frac{1}{n(n+1)}$ och bevisa den med hjälp av induktion.

Det är ganska enkelt att börja se ett mönster, nämligen $S_n=\frac{n}{n+1}$. Nu gäller det att bevisa denna formel med hjälp av induktion. Jag har gjort på följande vis:

1) Basfall: $n=1$:

$\displaystyle \frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}\implies \exists n\in \mathbb{N}:\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{i(i+1)}=\frac{n}{n+1}$

2) Induktionsantagande:

Antag sant för n=k. Visa att detta medför att det är sant för n=k+1. Att visa är då:

$\displaystyle \sum_{i=1}^{k}\frac{1}{i(i+1)}=\frac{k}{k+1}\implies \sum_{i=1}^{k+1}\frac{1}{i(i+1)}=\frac{k+1}{k+2}$.

3) Bevisföringen:

$\displaystyle \sum_{i=1}^{k+1}\frac{1}{i(i+1)}=\sum_{i=1}^{k}\frac{1}{i(i+1)}+\sum_{i=k+1}^{k+1}\frac{1}{i(i+1)}$

Enligt induktionsantagandet vet vi att:

$\displaystyle \sum_{i=1}^{k}\frac{1}{i(i+1)} = \frac{k}{k+1}$

$\displaystyle \implies \sum_{i=1}^{k}\frac{1}{i(i+1)}+\sum_{i=k+1}^{k+1}\frac{1}{i(i+1)}=\frac{k}{k+1}+\sum_{i=k+1}^{k+1}\frac{1}{i(i+1)}$

Den sista summan här har ju bara en term så den är enkel att skriva ut:

$\displaystyle \frac{k}{k+1}+\sum_{i=k+1}^{k+1}\frac{1}{i(i+1)}=\frac{k}{k+1}+\frac{1}{(k+1)(k+2)}=\frac{k+1}{k+2}$

V.S.V.

Undrar om allting har gått rätt till här och om själva bevisföringen är vattentät. Tack på förhand!