Stämmer ekvivalensen?

Ja, ekvivalensen stämmer, vilket du enkelt kan visa på följande sätt:

Vi har $a=\pm\sqrt{b}$, vilket vi kan dela upp i de två fallen

$a=\sqrt{b}$ och $a=-\sqrt{b}$

Det andra fallet är identiskt med $-a=\sqrt{b}$.

Om vi nu sätter ihop dessa båda fall igen så får vi $\pm a=\sqrt{b}$.

Invändningen att $\sqrt{b}$ inte kan vara ett negativt tal är inte relevant eftersom $-a$ inte nödvändigtvis måste vara ett negativt tal.

Yngve skrev:

Invändningen att $\sqrt{b}$ inte kan vara ett negativt tal är inte relevant eftersom $-a$ inte nödvändigtvis måste vara ett negativt tal.

Men oavsett värde på a kommer ±a ha ett positivt och ett negativt värde. Du säger att -a inte nödvändigtvis är negativt, men i så fall måste a vara negativt.

Min förvirring kanske bottnar i hur man valt att definiera kvadratroten ur ett tal. Man säger ju att kvadratroten inte kan ha negativa svar. Men mitt första inlägg visar ju att det kan de visst.

Det stämmer att $\sqrt{b}$ är ett positivt tal (om $b\neq0$).

Jag tror att du kanske förvirras av symbolen $\pm$.

Den betyder här helt enkelt att ekvationen $a^2=b$ har två lösningar, nämligen $a_1=\sqrt{b}$ och $a_2=-\sqrt{b}$.

Här är $a_1$ uppenbarligen ett positivt tal medan $a_2$ är ett negativt tal.

Vi kan lika gärna skriva $\pm a=\sqrt{b}$, dvs $a_1=\sqrt{b}$ och $-a_2=\sqrt{b}$. Även här är $a_1$ ett positivt tal och $a_2$ ett negativt tal.

Tillägg: 5 apr 2022 14:21

Förtydligande: Det gäller att $\sqrt{b}$ är ett positivt tal om $b$ > 0.