Stämmer denna lösning?

Låt andragradaren heta $f (x)$ . En generell tangent kan skrivas på formen $y = k x + m$ . Om den ska tangera måste dessutom $k = f' (x)$ . Eftersom det är en linje skulle man även kunna beräkna dess k-värde med hjälp av två punkter: $(x | f (x))$ och $(0 | - 1)$ . Då får man två samband för k:

$\{\begin{cases} k = \frac{f (x) + 1}{x} = \frac{6 x - 3 x^{2} + 1}{x} \\ k = f' (x) = 6 - 6 x \end{cases}$

För att det ska kunna finnas en tangent som går genom $(0 | - 1)$ måste det finnas åtminstone ett reellt värde på $x$ som uppfyller följande ekvation:

$\frac{6 x - 3 x^{2} + 1}{x} = 6 - 6 x$

Denna ekvation har dock lösningarna $x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} i$ , varför tangenten inte kan gå genom dessa punkter.

Ett snabbare sätt att kolla är att sätta in värdena (0; -1) i grundekvationen. Då ser vi raskt att detta funkar inte.

Jag tyckte att ditt resonemang höll måttet, men för att vara helt på det hundra så prövade jag att rita upp det. Vad vi då får är en negativ parabel, en sur-mun-parabel, där punkten i fråga befinner sig nedanför parabeln.

Eftersom att en tangent till parabeln endast kommer att ha utsträckning ovanför kurvan så kan den omöjligen nå en punkt nedanför kurvan.

En sak jag kom att tänka på nu är att det kanske vore bättre att byta ut $x$ i mina uttryck mot ett $x = a$ . Jag tycker åtminstone personligen att det blir mer överskådligt och förståeligt då. Alltså:

$\{\begin{cases} k = \frac{f (a) + 1}{a} = \frac{6 a - 3 a^{2} + 1}{a} \\ k = f' (a) = 6 - 6 a \end{cases}$

Där $x = a$ då är den punkt där tangeringen äger rum.

Svara

Visa senaste svar