Stämmer denna härledning?

Hej allesammans!

Jag ville ta reda på hur man deriverar logaritmiska funktioner, typ y=log_b(x) och jag tror jag har kommit fram till något vettigt. Jag vill bara veta om det stämmer:

$y (x) = \log_{b} (x) \Rightarrow y' (x) = \lim_{h \to 0} \frac{\log_{b} (x + h) - \log_{b} (x)}{h}$

Sedan använder jag en logaritmlag och "masserar" uttrycket lite med en förlängning av x:

$y' (x) = \lim_{h \to 0} \frac{\log_{b} (x + h) - \log_{b} (x)}{h} y' (x) = \lim_{h \to 0} \frac{\log_{b} (1 + \frac{h}{x})}{h} y' (x) = \underset{h \to 0}{\lim (} \log_{b} (1 + \frac{h}{x}) \cdot \frac{1}{h}) y' (x) = \underset{h \to 0}{\lim (} \log_{b} (1 + \frac{h}{x}) \cdot \frac{x}{h x}) y' (x) = \underset{h \to 0}{\lim (} \log_{b} (1 + \frac{h}{x}) \cdot \frac{x}{h} \cdot \frac{1}{x}) y' (x) = \underset{h \to 0}{\lim (} \log_{b} {(1 + \frac{h}{x})}^{(1 / (h / x))} \cdot \frac{1}{x}) \Rightarrow y' (x) = \log_{b} (e) \cdot \frac{1}{x}$

Jag hade personliget gjort:

$\dfrac{\ln (\dfrac{x+h}{x})}{h} = \dfrac{\ln(1 + \dfrac{h}{x})}{\dfrac{h}{x}} \cdot \dfrac{1}{x}$ , nu har vi direkt ett sgv.

Jag vet inte vilken sgv du använder hör:

Du har 1/h(x) i exponenten, vilket jag inte heller vet var du fick det ifrån. Men jag tror du har tänk rätt.

Ska du använda derivatans definition eller får du använda att derivatan av ln(x) är 1/x?

Dracaena skrev:
Jag hade personliget gjort:

$\dfrac{\ln (\dfrac{x+h}{x})}{h} = \dfrac{\ln(1 + \dfrac{h}{x})}{\dfrac{h}{x}} \cdot \dfrac{1}{x}$ , nu har vi direkt ett sgv.

Jag vet inte vilken sgv du använder hör:

Du har 1/h(x) i exponenten, vilket jag inte heller vet var du fick det ifrån. Men jag tror du har tänk rätt.

I ett av stegen kom jag fram till att gränsvärdet kunde skrivas om till:

$\lim_{h \to 0} (\log_{b} (1 + \frac{h}{x}) \cdot \frac{x}{h} \cdot \frac{1}{x})$

Jag flyttade sedan upp x/h i exponenten och "inverterade bråket", alltså skrev om det som 1/(h/x), för att förtydliga att det närmar sig e när h närmar sig 0.

Laguna skrev:
Ska du använda derivatans definition eller får du använda att derivatan av ln(x) är 1/x?

Jag ville visa generellt för alla logaritmiska funktioner, så att använda att $\frac{d}{d x} \ln (x) = \frac{1}{x}$ är lite fusk.

Jag ser nu dock att du gör ett stort misstag.

Du har skrivit $\log_b$ men det gäller inte att $\log_b(e) = 1$ , det gäller inte heller för den delen att $\dfrac{d}{dx}\log (x) = 1/x$ .

Så även om det stämmer (har inte kontrollerat ännu) så kommer du aldrig från 1/x, eftersom det inte är derivatan.

Denna derivatan gäller endast för ett b, inte allmänt.

Nej men b kan man väl substituera mot vad man vill? Det jag vill åstadkomma är att ta fram ett sätt att snabbt få fram derivatan för vilken logaritmisk funktion som helst utan att behöva tänka. Men om vi sätter b=e som exempel verkar det jag kom fram till stämma:

$\log_{e} (e) \cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{x}$

Jag fick för mig att du skrivit 1/h(x), men det har du inte gjort.

du behöver inte veta derivatan av $\log_b$ ? Du vet denna per automatik så fort du kan bevisa den för basen e.

Varför säger jag det? Hur lyder egentligen konvertering exempelvis mellan en 10 logaritm och en naturlig logartim?

$\log_{10} (a) = \frac{\ln (a)}{\ln 10}$

Bra!

Följande gäller:

$\dfrac{d}{dx} (\log_b(x)) = \dfrac{1}{x \ln(b)}$

Detta är inte trivialt att veta, men formeln du hänvisar till i #9 ger oss en ledtråd att ln kommer dyka upp någonstans även i derivatan. Det råcker alltså med att visa att $\dfrac{d}{dx} \ln x = 1/x$ för att veta derivatan för alla logaritmer oberoende vilken bas.

Ah, vad finurligt! Det var faktiskt ett finare (och mindre omständligt) sätt att skriva det på än det jag kom fram till. Tack!

Jag brukar börja ännu mer grundläggande, för det blir fel annars.

y = log_b(x)

är per definition ekvivalent med b^y =x. Nu tar jag naturliga logaritmen av detta: yln(b) = ln(x), vilket ger y = ln(x)/ln(b).

Svara

Visa senaste svar