"Squeeze value theorem" i flervariabler

I exemplet i videon så vill han visa att $f(x,y) = \frac{5x^2y}{x^2+y^2} \rightarrow 0$ då $(x,y) \rightarrow (0,0)$. Han gör detta genom att undersöka absolutbeloppet $|f(x,y)|$. Notera att eftersom $\frac{x^2}{x^2+y^2} \leq 1$ för alla $(x,y) \neq (0,0)$ så får vi $|\frac{5x^2y}{x^2+y^2}| = \frac{5x^2|y|}{x^2+y^2} = \frac{x^2}{x^2+y^2}5|y| \leq 5|y|$. Vi har därmed att $0 \leq |f(x,y)| \leq 5|y|$ och det är nu han utnyttjar den s.k. instängningssatsen. Vi vet att $\lim\limits_{(x,y) \rightarrow (0,0)} 0 = 0$ och att $\lim\limits_{(x,y) \rightarrow (0,0)} 5|y| = 0$. Instängninssatsen säger oss då att $|f(x,y)|$ då också måste gå mot noll, p.g.a. att funktionen är "instängd" mellan $0$ och $5|y|$.

Soderstrom skrev:

EDIT₂: På exemplet han körde så kan man visa att gränsvärdet går mot $0$ om man väljer att först titta på "vägen" $y=x$, vilket leder till att gränsvärdet blir $0$ och sen "vägen" $y=x^2$ som också leder till $0$... 

Saken är den att gränsvärdet måste gå mot 0 oavsett vilken "väg" vi tar mot origo. Med detta förfarande skulle vi endast ha visat att gränsvärdet går mot noll för två specifika vägar och kan inte dra någon slutsats om huruvida gränsvärdet faktiskt existerar eller ej.

Tack för en bra förklaring Freewheeling. Så hur ska man veta om man ska använda vägar-tekniken eller squeeze theorem-tekniken när man får ett visst gränsvärde?

"Vägartekniken", som du kallar den, lämpar sig när man vill visa att ett gränsvärde inte existerar, genom att t.ex. välja två olika vägar och få två olika gränsvärden. Instängning lämpar sig när man vill visa att ett gränsvärde existerar och beräkna det.

Ok! Mycket fint och enkelt förklarat! Jag infogar en bild nedan av hur det såg ut på gamla tentor. Hur ska man då veta vilken teknik man ska använda!?

Det står "find the limit/.../", då kan jag ju använda vilken teknik som helst och visa att den verkligen existerar!?

Det står "find the limit or state that it does not exist" så du måste vara öppen för möjligheten att gränsvärdet inte existerar. Du kan inte använda "vägar-tekniken" om du inte vet att gränsvärdet existerar. I detta fall existerar gränsvärdet, vi kan t.ex. skriva $\frac{x^2 + y^2}{x^2 + x^2y^2 + y^2} = 1 - \frac{x^2y^2}{x^2 + x^2y^2+y^2}$ och vi kan visa att $\frac{x^2y^2}{x^2 + x^2y^2+y^2} \rightarrow 0$ då $(x,y) \rightarrow (0,0)$. Då inser vi att gränsvärdet i uppgiften existerar och är lika med 1.

Fast nej? Du skriver: "I detta fall existerar gränsvärdet". Hur vet vi det i förhand??

Läraren skrev "find the limit or state that it does not exist" på samtliga gränsvärde-uppgifter, så hur ska undersöka gränsvärden i samtliga fallen för att dra slutsatsen om vilken teknik man ska använda? 

Soderstrom skrev:

Fast nej? Du skriver: "I detta fall existerar gränsvärdet". Hur vet vi det i förhand??

Läraren skrev "find the limit or state that it does not exist" på samtliga gränsvärde-uppgifter, så hur ska undersöka gränsvärden i samtliga fallen för att dra slutsatsen om vilken teknik man ska använda? 

Ofta brukar man få "snälla" gränsvärden när man tittar på om gränsvärden existerar. Man kan testa y=x, y=0, x=0, y=x^2 och om alla ger samma kan man nog förvänta sig att gränsvärdet finns.

Soderstrom skrev:

Fast nej? Du skriver: "I detta fall existerar gränsvärdet". Hur vet vi det i förhand??

Jag visste inte det på förhand men jag gav en motivering för att gränsvärdet existerar och att det är lika med 1 i den tredje meningen av mitt inlägg.

Så okej, om jag förstod det ni skrev, så är det så att om jag kör "vägar-tekniken" (vad heter den egentligen) och får samma resultat från olika väger, då måste jag inse att man ska använda "squeeze value theorem" istället!?

Ja, fast instängningssatsen är ju bara ett av flera sätt att beräkna gränsvärden på, ibland är det krångligt att försöka använda sig av den. I exemplet du gav så skulle jag inte försöka mig på att använda instängningsstrategin. Jag kan förtydliga min lösning.

Genom att testa ett par olika vägar (x=0, y=0) så kan vi gissa oss till att gränsvärdet existerar och är lika med 1. Nu ska vi visa att så faktiskt är fallet. Jag använder inte instängningssatsen utan skriver om funktionen enligt följande. $\frac{x^2 + y^2}{x^2+x^2y^2+y^2} = \frac{x^2 + y^2 + x^2y^2 - x^2y^2}{x^2+x^2y^2+y^2} = 1 - \frac{x^2y^2}{x^2+x^2y^2+y^2}$. Om jag nu kan visa att $\frac{x^2y^2}{x^2+x^2y^2+y^2} \rightarrow 0$ då $(x,y) \rightarrow 0$ så är jag klar.  Jag dividerar täljaren och nämnaren med $x^2y^2$ och får $\frac{1}{\frac{1}{x^2} + 1 + \frac{1}{y^2}}$. När $(x,y) \rightarrow (0,0)$ så går termerna $1/x^2$ och $1/y^2$ i nämnaren mot oändligheten och $\frac{1}{\frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} + 1}$ går därmed mot 0.

Yes! Jag förstår. Men att skriva om funktionen på det där sättet krävs det lite kreativitet :/ kanske därför läraren skrev i facit att man ska använda instängningssatsen eller polära koordinater.