Sqrt(1-p^2)

Om vi håller oss till reella tal så är rotuttrycket inte definierat om det man vill dra roten ur är negativt.

Sedan har man bestämt att roten ur ett positivt tal är positivt. Om det är det negativa tal som kvadrerat ger talet under rottecknet som man vill ha så får man skriva ett minustecken framför.

Laguna skrev:

Om vi håller oss till reella tal så är rotuttrycket inte definierat om det man vill dra roten ur är negativt.

Sedan har man bestämt att roten ur ett positivt tal är positivt. Om det är det negativa tal som kvadrerat ger talet under rottecknet som man vill ha så får man skriva ett minustecken framför.

Hm hur menar du med denna mening " Om det är det negativa tal som kvadrerat ger talet under rottecknet som man vill ha så får man skriva ett minustecken framför." ? Menar du att om man vill få ut ett positivt tal från uttrycket under roten ur så får skriva sqrt(-(1-x^2))?

Antag att vi har en likhet $a=b$. Detta medför att $a^2=b^2$.

Men åt andra hållet gäller det inte. Antag att vi nu istället har en likhet $a^2=b^2$. Det gäller inte endast att $a=b$, utan snarare att $a=\pm b$ dvs $a=\sqrt{b^2}$ och $a=-\sqrt{b^2}$.

Jag tror det är det han menar.

Nej, -2 kvadrerat blir 4.

Om du är ute efter det negativa tal som kvadrerat blir 4 så får du skriva $-\sqrt{4}$.

Laguna skrev:

Nej, -2 kvadrerat blir 4.

Om du är ute efter det negativa tal som kvadrerat blir 4 så får du skriva $-\sqrt{4}$.

Men om vi säger att p =-2 så får vi sqrt(-3) och om p=2 så får vi sqrt(-3). 

Ja, det går inte.

Laguna skrev:

Ja, det går inte.

Precis så därför förstår jag ej när det gäller att rotuttrycket sqrt(1-p^2) blir alltid  positivt?

Uttrycket är odefinierat på det reella talplanet för alla $p<-1$ och $p>1$.

naytte skrev:

Uttrycket är odefinierat på det reella talplanet för alla $p<-1$ och $p>1$.

Men då kan man ej ens säga att uttrycket är alltid positivt.  Det är ju den aldrig hur man än gör?  Hade vi haft sqrt(1+p^2) så hade jag förstått att den är alltid positivt oavsett vad för p vi stoppar in

Tänk dig att vi skapar en reell funktion av uttrycket: $f\left(p\right)=\sqrt{1-p^2}$.

Då gäller att för alla $p$, $-1<p<1$, kommer $f\left(p\right)>0$.

Men funktionen blir inte alltid positiv. Till exempel kan den bli 0 också. Men den kommer aldrig bli negativ. Det gäller ju att:

$\sqrt{x^2}=\left|x\right|$.

naytte skrev:

Tänk dig att vi skapar en reell funktion av uttrycket: $f\left(p\right)=\sqrt{1-p^2}$.

Då gäller att för alla $p$, $-1<p<1$, kommer $f\left(p\right)>0$.

Men funktionen blir inte alltid positiv. Till exempel kan den bli 0 också. Men den kommer aldrig bli negativ. Det gäller ju att:

$\sqrt{x^2}=\left|x\right|$.

Ja juste så sqrt(1-|p|) kommer alltid bli positivt ? 

Ja, vi kan med säkerhet alltid säga att $f\left(p\right)\ge 0$. Så positivt eller noll. Men aldrig negativt.

naytte skrev:

Ja, vi kan med säkerhet alltid säga att $f\left(p\right)\ge 0$. Så positivt eller noll. Men aldrig negativt.

Yes och det gäller endast i det intervallet p är -1<=p<=1?

Du redigerade ditt föregående inlägg. Det borde stå $\left|1-p^2\right|$.

Yes och det gäller endast i det intervallet p är -1<=p<=1?

Ja. Funktionen är endast definierad i intervallet $-1\le p\le 1$ för de reella talen.

naytte skrev:

Du redigerade ditt föregående inlägg. Det borde stå $\left|1-p^2\right|$.

Yes och det gäller endast i det intervallet p är -1<=p<=1?

Ja. Funktionen är endast definierad i intervallet $-1\le p\le 1$ för de reella talen.

Aa jag redigerade för jag var osäker om man kan skriva så.. tänkte bara att det här gäller för p^2 som det går.  Jag är van mer med sqrt(p^2)=|p| eller sqrt(1-x)^2=|1-x|

Varför skriver man |1-p^2| när man kan skriva 1-|p|?

Hur får du att det är samma sak? 

Prova p=0.5

I din funktion är det 0.5, i det vi hade från början blir det 0.75. 

Dracaena skrev:

Hur får du att det är samma sak? 

Prova p=0.5

I din funktion är det 0.5, i det vi hade från början blir det 0.75. 

hm nu hänger jag ej med. Vadå 0,5 och 0,75? 

Om vi säger p=2 så har vi sqrt(1-p^2) vilket ger oss sqrt(1-2^2)=sqrt(1-4)=sqrt(-3). Samma sak om p=-2. Men för 0,5 och 0,75 blir det annorlunda och då blir uttrycket positivt 

1-abs(0.5) = 0.5

abs(1-0.5²)=0.75

naytte skrev:

1-abs(0.5) = 0.5

abs(1-0.5²)=0.75

Aa det är skillnad.  Så varför skriver man |1-p^2|? p^2 =|p| gäller endast vid p^2 och ej när det är 1-p^2?

Nej, det gäller inte att $p^2=|p|$, ta typ p=2

Med likheten ovan betyder det att $2^2=|2|$.

Det som gäller däremot är att $\sqrt{p^2}=|p|$.

Dracaena skrev:

Nej, det gäller inte att $p^2=|p|$, ta typ p=2

Med likheten ovan betyder det att $2^2=|2|$.

Det som gäller däremot är att $\sqrt{p^2}=|p|$.

Oj det var tangentbord fel. Jag menade såklart sqrt(p^2)=|p|. Ja precis du har rätt. P^2=|p| är ej samma. Men varför skriver man sqrt(1-p^2) som |1-p^2|? 

Det gör man inte. 

$\sqrt{1-p^2}\ne \left|1-p^2\right|$

Men det kommer alltid gälla att $f\left(p\right)\ge 0$, eftersom kvadratroten ur ett tal aldrig kan bli negativt.

naytte skrev:

Det gör man inte.

Jo du skrev själv sqrt(1-p^2)=|1-p^2| och sa att det var korrekt fastän jag var osäker om man får skriva så..

Jag skrev fel ifall jag gjorde det. Det stämmer inte i alla fall. Det som däremot stämmer är att $\sqrt{x^2}=\left|x\right|$.

För att sammanfatta ifall någonting var otydligt:

Funktionen $f\left(p\right)=\sqrt{1-p^2}$ har en viss definitionsmängd och en viss värdemängd.

Kvadratroten av ett uttryck kan aldrig bli negativ eftersom den är definierad på följande sätt: $\sqrt{x^2}=\left|x\right|$. Detta innebär att utvärdet alltid kommer att vara positivt eller noll, vilket medför att $f\left(p\right)\ge 0$. 

Funktionen har en definitionsmängd bland de reella talen: $-1\le p\le 1$. Mellan dessa värden kommer $f\left(p\right)>0$ och vid yttervärdena kommer $f\left(p\right)=0$. Anledningen till att definitionsmängden ser ut på detta sätt är att utvärdet i annat fall skulle bli komplext, eller odefinierat ifall vi endast handskas med de reella talen.

Så varje gång jag ser sqrt(1-p^2) ska jag tänka på -1<=p<=1 

naytte skrev:

För att sammanfatta ifall någonting var otydligt:

Funktionen $f\left(p\right)=\sqrt{1-p^2}$ har en viss definitionsmängd och en viss värdemängd.

Kvadratroten av ett uttryck kan aldrig bli negativ eftersom den är definierad på följande sätt: $\sqrt{x^2}=\left|x\right|$. Detta innebär att utvärdet alltid kommer att vara positivt eller noll, vilket medför att $f\left(p\right)\ge 0$. 

Funktionen har en definitionsmängd bland de reella talen: $-1\le p\le 1$. Mellan dessa värden kommer $f\left(p\right)>0$ och vid yttervärdena kommer $f\left(p\right)=0$. Anledningen till att definitionsmängden ser ut på detta sätt är att utvärdet i annat fall skulle bli komplext, eller odefinierat ifall vi endast handskas med de reella talen.

Men då hade jag rätt när jag sa till dig att sqrt(1-|p|)

$\sqrt{1-p^2}\ne \sqrt{1-\left|p\right|}$

Eller hur menar du?

naytte skrev:

$\sqrt{1-p^2}\ne \sqrt{1-\left|p\right|}$

Eller hur menar du?

Aha okej då hade jag fel . Jag trodde båda leden var lika. men när är rotuttrycket alltid positivt??

Rotuttrycket är inte alltid positivt men det är aldrig negativt. Rotuttrycket är alltid antingen noll eller positivt.

naytte skrev:

Rotuttrycket är inte alltid positivt men det är aldrig negativt. Rotuttrycket är alltid antingen noll eller positivt.

Okej aldrig negativt för att den är antingen alltid 0 Eller positivt mellan -1<=p<=1? Annars tolkar jag som att om vi går utanför dessa intervall så är rotuttrycket aldrig positivt eller negativt utan den är ej definierad right?

Du tolkar det helt korrekt.

naytte skrev:

Du tolkar det helt korrekt.

Tack så mycket och Gott nytt år!!