Spegling i linjer (Matematik/Universitet)

Vad får du om du speglar vektorn $[\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}]$ i x-axeln?

PATENTERAMERA skrev:
Vad får du om du speglar vektorn $[\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}]$ i x-axeln?

Då får jag( -x ,-y)?

Nja, det är väl spegling i origo.

PATENTERAMERA skrev:
Nja, det är väl spegling i origo.

Oj men då vet jag ej. Jag har ej lätt för speglingar och blir bara förvirrad av begreppet. Jag trodde man menade spegelbilden av (x,y) som jag tänkte på var (-x,-y).

PATENTERAMERA skrev:

Jaha det är spegling med pi/9 medurs kring x axeln? Då får vi ju (x,-y).

Nja det är spegling i x-axeln. Du har dock rätt i att det blir (x, -y).

PATENTERAMERA skrev:
Nja det är spegling i x-axeln. Du har dock rätt i att det blir (x, -y).

Aha okej. Det är alltså S0?

Ja.

PATENTERAMERA skrev:
Ja.

Okej nu behöver vi titta på spegling runt x axeln på andra sidan dvs andra kvadranten och fjärde kvadranten?

Nej. (x, y) $\mapsto$ (x, -y) funkar överallt.

Kan du hitta en matris A sådan att A $[\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}]$ = $[\begin{matrix} x \\ - y \end{matrix}]$ ?

PATENTERAMERA skrev:
Nej. (x, y) $\mapsto$ (x, -y) funkar överallt.

Kan du hitta en matris A sådan att A $[\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}]$ = $[\begin{matrix} x \\ - y \end{matrix}]$ ?

Varför funkar det överallt? Ja det finns [ 1 -1] som ger [ x -y]

A ska vara en 2x2-matris, inte en vektor.

D4NIEL skrev:
A ska vara en 2x2-matris, inte en vektor.

Ja A = [ 10 0 -1]

Rätt.

Tillägg: 13 dec 2023 18:14

Dvs $[\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix}]$

PATENTERAMERA skrev:
Rätt.

Tillägg: 13 dec 2023 18:14

Dvs $[\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix}]$

Så när man speglar [x y] i x-axeln så använder man matrisen ovan för att få den speglingen?

Ja. Testa vad du får

$[\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}]$ = … .

PATENTERAMERA skrev:
Ja. Testa vad du får

$[\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}]$ = … .

Ja jag får ju [x,-y]. Men hur vet man att spegling runt x axeln innebär just det? Varför funkar ej spegling mellan andra och tredje kvadranten i xy-planet ?

Vad menar du med spegling mellan andra och tredje kvadranten?

PATENTERAMERA skrev:
Vad menar du med spegling mellan andra och tredje kvadranten?

Du visade en bild på spegling i x axeln som sker i första och fjärde kvadranten.men du visade ingen spegling i x axeln vid andra och fjärde kvadranten.

Formeln fungerar oavsett i vilken kvadrant som (x, y) ligger. Testa tex (x, y) = (-4, 3).

PATENTERAMERA skrev:
Formeln fungerar oavsett i vilken kvadrant som (x, y) ligger. Testa tex (x, y) = (-4, 3).

Vilken formel? Ja om vi speglar (-4,3) i andra kvadranten till tredje kvadranten så får vi (-4,-3)

’Om du har en linje L och vill spegla en vektor v i denna linje så gör man så här generellt.

Dela up vektorn v i en del v’ som är parallell med linjen och en del v’’ som är vinkelrät mot linjen. v = v’ + v’’.

Den speglade vektorn S(v) ges då av

S(v) = v’ - v’’. Dvs den vinkelräta delen byter riktning.

destiny99 skrev:
PATENTERAMERA skrev:
Formeln fungerar oavsett i vilken kvadrant som (x, y) ligger. Testa tex (x, y) = (-4, 3).

Vilken formel? Ja om vi speglar (-4,3) i andra kvadranten till tredje kvadranten så får vi (-4,-3)

Ja, precis.

PATENTERAMERA skrev:
’Om du har en linje L och vill spegla en vektor v i denna linje så gör man så här generellt.

Dela up vektorn v i en del v’ som är parallell med linjen och en del v’’ som är vinkelrät mot linjen. v = v’ + v’’.

Den speglade vektorn S(v) ges då av

S(v) = v’ - v’’. Dvs den vinkelräta delen byter riktning.

Såhär?

PATENTERAMERA skrev:

Aha men vad är skillnaden mellan din och min bild?

Jag har lite svårt att se vad som är v i din figur.

PATENTERAMERA skrev:
Jag har lite svårt att se vad som är v i din figur.

Ok. Men hur gör vi med spegling för att få matris B?

Om e är en riktningsvektor till linjen L så gäller det att v’ = Proj_e(v). Från det kan du med lite eftertanke räkna fram en formel för att beräkna speglingen S(v), sedan får du räkna fram den tillhörande matrisen genom att titta på vad som händer med standardbasen.

PATENTERAMERA skrev:
Om e är en riktningsvektor till linjen L så gäller det att v’ = Proj_e(v). Från det kan du med lite eftertanke räkna fram en formel för att beräkna speglingen S(v), sedan får du räkna fram den tillhörande matrisen genom att titta på vad som händer med standardbasen.

Men vi vet ej vilken linje det är ännu. Jag förstår ej vad du menar med " räkna fram en formel för att beräkna speglingen av S(v). " är det ej (1 0 0) -2proje(v) osv när man använder standardbasen ? Men vilken v menar du?

Vi hade ju en allmän figur med godtycklig vektor v.

v = v’ + v’’

S(v) = v’ - v’’.

v’ = proj_e(v).

Vilket ger S(v) = 2proj_e(v) - v. Sedan får du sätta in standardbasens vektorer som v i denna formel för att kolonnerna i matrisen B. Du måste också hitta en riktningsvektor e till linjen.

PATENTERAMERA skrev:
Vi hade ju en allmän figur med godtycklig vektor v.

v = v’ + v’’

S(v) = v’ - v’’.

v’ = proj_e(v).

Vilket ger S(v) = 2proj_e(v) - v. Sedan får du sätta in standardbasens vektorer som v i denna formel för att kolonnerna i matrisen B. Du måste också hitta en riktningsvektor e till linjen.

Förresten varför har vi 2projev och ej projev? Om du syftar på linjen y=x så är riktningsvektor (1 1). Jag vet ej vad du menar med e?

Du kan härleda det från de ekvationer jag skrev upp.

PATENTERAMERA skrev:
Du kan härleda det från de ekvationer jag skrev upp.

Aa jag får

v-v'=v"

S(v)=v'-v+v'=2v'-v

och v'=proje(v)

Men vad är e nu igen? Enhetsvektor eller menar du riktningsvektor till linjen (x,y)?

Det är en riktingsvektor till linjen. Det kan vara en enhetsvektor men behöver inte vara det.

På B har vi en linje genom origo som bildar vinkeln pi/9 med x-axeln. Kan du tänka ut en vektor e som är parallell med linjen.

PATENTERAMERA skrev:
Det är en riktingsvektor till linjen. Det kan vara en enhetsvektor men behöver inte vara det.

På B har vi en linje genom origo som bildar vinkeln pi/9 med x-axeln. Kan du tänka ut en vektor e som är parallell med linjen.

men jag vet ej vad linjen som går genom origo med vinkeln pi/9 har för x och y koordinater? Jag gissar att den har [ 1 0] eftersom den går från origo.

Rita ett koordinatsystem med x- och y-axel. Rita in en linje genom origo som på ett ungefär har vinkeln pi/9 mot x-axeln. Hur ser det ut? Kan du tänka ut någon vektor som är parallell med linjen? Tex kan du tänka dig en enhetsvektor?

PATENTERAMERA skrev:
Rita ett koordinatsystem med x- och y-axel. Rita in en linje genom origo som på ett ungefär har vinkeln pi/9 mot x-axeln. Hur ser det ut? Kan du tänka ut någon vektor som är parallell med linjen? Tex kan du tänka dig en enhetsvektor?

Jag ritade såhär. Ja en enhetsvektor till linjen y=x skulle kunna vara 1/sqrt(2)(1 1)

Ja, men linjen y = x bildar vinkeln pi/4 med x-axeln. Nu skulle linjen bilda pi/9 med x-axeln.

PATENTERAMERA skrev:
Ja, men linjen y = x bildar vinkeln pi/4 med x-axeln. Nu skulle linjen bilda pi/9 med x-axeln.

Ja jag vet men jag vet ej vad den linjen med pi/9 blir för linje om det ej är y=x. Jag kan tänka mig att vi har koordinaterna cos(pi/9),sin(pi/9). Mer än så kan jag ej komma på.

Men det duger gott. Du har nu en (enhets)vektor e som är riktad längs linjen.

Du kan nu använda formeln för spegling som gavs i #33. Från den kan du sedan räkna ut den tillhörande matrisen B.

PATENTERAMERA skrev:
Men det duger gott. Du har nu en (enhets)vektor e som är riktad längs linjen.

Du kan nu använda formeln för spegling som gavs i #33. Från den kan du sedan räkna ut den tillhörande matrisen B.

Vad är min enhetsvektor här? Du menar e=1/sqrt(2)(1 1) ? När jag använder formeln för speglingen så får jag väl matrisen B. Detta är vad jag fått

e = (cos(pi/9), sin(pi/9)). Nu tog du riktningsvektorn till linjen y = x, dvs fel linje.

PATENTERAMERA skrev:
e = (cos(pi/9), sin(pi/9)). Nu tog du riktningsvektorn till linjen y = x, dvs fel linje.

Jaha oj. Då missförstod jag dig. Ska räkna om igen då. Så e =(cos(pi/9),sin(pi/9)) som är en enhetsvektor är också en riktningsvektor till linjen som bildar pi/9 med x axeln?

jag fick detta

Bra. Man kan förenkla lite.

2cos²(x) - 1 = cos²(x)-sin²(x) = cos(2x).

2sin(x)cos(x) = sin(2x).

2sin²(x) - 1 = sin²(x) - cos²(x) = - cos(2x).

PATENTERAMERA skrev:
Bra. Man kan förenkla lite.

2cos²(x) - 1 = cos²(x)-sin²(x) = cos(2x).

2sin(x)cos(x) = sin(2x).

2sin²(x) - 1 = sin²(x) - cos²(x) = - cos(2x).

Ja det blir ju såhär.

Systemet godkänner ej detta som svar. Jag förstår ej varför.

Vad skriver du in? Kanske du får slå närmevärden på räknaren och skriva in dessa med lämpligt antal decimaler.

PATENTERAMERA skrev:
Vad skriver du in? Kanske du får slå närmevärden på räknaren och skriva in dessa med lämpligt antal decimaler.

Prova om det funkar bättre med JA - tyvärr kan sådana program vara otroligt korkade!

Kommuterar verkligen operationerna? Tex om vi börjar med (1, 0) och speglar först i linjen och sedan i x-axeln. Om vi gör omvänt, spegla först i x-axeln och sedan i linjen. Det blir väl inte samma resultat.

PATENTERAMERA skrev:
Kommuterar verkligen operationerna? Tex om vi börjar med (1, 0) och speglar först i linjen och sedan i x-axeln. Om vi gör omvänt, spegla först i x-axeln och sedan i linjen. Det blir väl inte samma resultat.

Det funkar fortfarande ej..

Skall det inte vara plustecken framför båda sinusarna?

Ja,

Om du utför matrismultiplikationerna AB och BA så kan du kanske se något intressant, om ni gått igenom rotationsmatriser.