Spegling

Bestäm matrisen för den linjära avbildning från R3 till R3 som speglar alla vektorer i planet med ekvation $x_{1} = x_{2}$ . Hur gör jag?

Om $\vec{n}$ är en normalvektor till planet, så är speglingen avbildningen

$\vec{x} \mapsto \vec{x} - 2 p r o j_{\vec{n}} \vec{x}$ .

För att hitta standardmatrisen får du titta på hur speglingen påverkar standardbasen

${\vec{e}}_{1} = [\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}]$ , ${\vec{e}}_{2} = [\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}]$ , ${\vec{e}}_{3} = [\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}]$ .

Kolumnerna i matrisen är bilderna under speglingen av vektorerna i standardbasen.

Enligt facit så ska det bli $(\begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix})$ . Så jag tänker att x måste speglas mot y-axeln, och y-axeln därför speglas mot x-axeln. Så roteringen sker vid z-axeln. Jag har ganska svårt att visualisera i 3D, men tänker att detta ändå låter logiskt....

Jo, precis. Vi speglar i planet $x=y$ , så $\mathbf{e}_1$ speglas på $\mathbf{e}_2$ och $\mathbf{e}_2$ speglas på $\mathbf{e}_1$ .

Men detta är ju egentligen en genväg. Du kan ju också beräkna allt steg för steg så som PATENTERAMERA beskrev.

Hur räknar man detta då? För jag har ju varken x eller en normalvektor, så det är inte helt självklart för mig hur man ska göra… antar att x kanske blir enhetsvektorerna, men vad blir då normalvektorn? 🤔

Du kan skriva planet som

x₁ - x₂ + 0 $\cdot$ x₃ = 0.

Så

$\vec{n} = [\begin{matrix} 1 \\ - 1 \\ 0 \end{matrix}]$ .

Sedan stoppar du, precis som du säger, in standardbasens vektorer i stället för $\vec{x}$ i formeln för spegling.

Tack så jättemycket för hjälpen! Då hänger jag med! 😃

Svara

Visa senaste svar