Spegling

Kan du hitta spegelbilderna av basvektorerna?

Tillägg: 28 nov 2021 21:47

Eller kanske linjärkombinationer av basvektorerna som ligger i planet eller vinkelrätt mot planet. 

Hur menar du? Typ att basvektorerna är (1,0,0), (0,1,0) och (0,0,1) och att spegling på dessa ger matrisen$\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& -1\end{array}\right)$

För spegling av vektorn v ett plan med normal n så får du dra bort dubbla projektionen av v på n från v. 

(Om det låter otydligt så blir det lättare om man ritar!)

Då kan du få fram var spegelbilden av v hamnar, vilket sedan ger dig matrisen. 

Du kan också hitta spegelbilderna av basvektorerna (samma recept som ovan) och därifrån få matrisen. Det kanske är enklast. Basvektorerna kan rätt smidigt skrivas som linjärkombinationer av transformationens egenvektorer, vilket kanske underlättar. 

Förstår vad du menar då jag gjorde en liknande uppgift, men hur ska jag göra i detta fall? Vad är n och v i detta fall? 

v = (x,y,z) är en godtycklig vektor.

Då avbildningen är linjär så kan du ta tre godtyckliga linjärt oberoende vektorer, t.ex de tre basvektorerna, och avbilda dessa. Bilderna av basvektorerna ger då avbildningen av en godtycklig vektor. 

n är normalen. I ditt fall är planets ekvation x1 = x2 (eller x = y).

Mhm, okej. Så om mina basvektorer är (1,0,0), (0,1,0) och (0,0,1), ger det avbildningen  $\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$? Känns som att jag är helt ute och cyklar

Du ska ta fram bilden av basvektorerna!

Vi kan ta och spegla (1,0,0). En normalvektor till planet är (1,-1,0). Vad blir projektionen av (1,0,0) på normalen?

Menar du såhär: $Pro{j}_{\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)}(\stackrel{\rightharpoonup }{n)}=\frac{\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ 0\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)}\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)=\frac{1}{1}\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$? Nu känner jag mig dum, men hur fick du ut att normalen till planet är (1,-1,0)?

Planets ekvation kan skrivas

$x_1-x_2=0$

Ett plan med ekvation 

$Ax_1+Bx_2+Cx_3=0$

har normalvektor n =(A,B,C).

Ja juste, och sen sätter man dit olika värden som uppfyller högerledet. Men blev projektilen rätt? 🤔

Nej, projektionen på (1,-1,0) blir en vektor med samma riktning som (1,-1,0).

Titta på vad som är vad i projektionsformeln. Ett tips kan vara att ha för vana att projicera på enhetsvektorer. Då blir det bara en skalärprodukt av enhetsvektorn och vektorn som projiceras på enhetsvektorn, gånger enhetsvektorn. 

$\text{proj}_{\mathbf{e}}(\mathbf{v})=(\mathbf{v}\cdot \mathbf{e})\mathbf{e}$