Speciella relativitetsteorin!

Hur ser formeln för tisdilation ut?

Stämmer. Nu är det svåra att avgöra vilken tid som skall vara 4,3 och vilken som skall vara 2 (år).

Rotuttrycket i nämnaren, är det större eller mindre än 1?

Jag fick exakt denna fråga i ett prov förra veckan men grubblar fortfarande på den.

Tiden på jorden är t

Tiden astronauterna ska uppfatta kallar jag t_0 och avståndet dom ska åka är 4.3 ljusår.

T_0 = 63115200 s

4.3 ljusårs = s_0v 

Jag får inte till det med astronauternas hastighet, den blir alltid större än ljusets hastighet vilket gör att formeln för tidsalitation inte går ihop. 

Någon som har tips på hur jag ska tänka?

4.3 ljusår = t_0v såklart

Jag tror att det är meningen att man skall svara att det går inte, eftersom ingenting kan röra sig fortare än ljusets hastighet.

Eller så menar man att det går två år i rymdskeppet.

Jag hittade denna lösning i en gammal tråd, men jag kan inte för mitt liv komma fram till det själv.

Om skeppet inte åker fortare än ljuset så kan alltså avståndet inte vara 4.3 ljusår, utan som störst 2 ljusår.

Jag tänker att 4.3 ljusår är det avstånd en observatör på jorden har uppskattat, som därför borde vara (c×t/2)^2 enligt härledningen till formeln. Men för att ta sig denna sträcka behöver skeppet ändå åka snabbare än ljuset för att sig dit. Känner mig dummare ju längre jag tänker på detta, för svaret stämmer i den bifogade bilden men jag kommer inte fram till hur dom bar sig åt.

Det är lite lurigt, men det kan ta kortare än 4.3 år (mätt för personerna på rymdskeppet) att färdas sträckan som är 4.3 ljusår för en observatör på jorden. 

(Tipset om att ha som vana att alltid omvandla till SI-enheter ska tas med en stor nypa salt. Här är det helt onödigt att omvandla 2 år till sekunder.)

Ja precis, åskådare betraktar hypotenusan och skeppet färdas vinkelrätt mot stjärnan, i en vinkelrät triangel åker skeppet då längst med den motstående katetern och således upplevs tiden längre för betraktaren, men avståndet är ju detsamma. Närliggande katet är v ×t och Pythagoras sats ger oss formeln ovan. Jag lyckas inte lösa ut hastigheten. Delar jag avståndet till stjärnan med tiden det tar för skeppet att komma dit, dvs 2 år, får jag att det för betraktaren tar 4.75 år för betraktaren. Men sen kommer jag inte längre.

Jag ser inte var en hypotenusa kommer in i bilden. 

Ni har säkert fått lära er ett samband mellan förfluten tid i två olika referenssystem, ungefär så här

$t=\gamma t^{'}$

Där $\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$.

Eftersom $t=\frac{x}{v}$ där $x$ där sträckan 4.3 ljusår och $v$ är hastigheten som skiljer systemen åt kan formeln ovan också skrivas

$\frac{x}{v}=\gamma t^{'}$

Sätter vi in $t^{'}$ 2 år samt $x$ 4.3 ljusår och kommer ihåg att $v=\frac{x}{t}$ (med normalisering $c=1$) ger ekvationen $x=\gamma v t^{'}$ således

$4.3=\frac{2v}{\sqrt{1-v^2}}$

Som har lösningen

$v=\frac{43}{\sqrt{2249}}\approx 0.91c$

Du har att:

$\displaystyle t_{0} = t\sqrt{1-\dfrac{v^{2}}{c^{2}}}$

Du har att:

$s=v\cdot t \ \Leftrightarrow \ t = \dfrac{s}{v}$

Denna tid är alltså tiden som förlöper på jorden under resan. Du får:

$\displaystyle t_{0}=\dfrac{s}{v} \cdot \sqrt{1-\dfrac{v^{2}}{c^{2}}}$

Du kan nu bestämma hastigheten genom att ansätta $t_{0}=2$ och $s=4.3\cdot c$.