Speciell relativitetsteori

Hej, har fastnat på dessa frågor och skulle bli tacksam för hjälp!

Alpha Centauri är den stjärna som, näst efter solen, ligger närmast jorden. Avståndet är 4,3 ljusår.

a) Hur lång tid tar det, enligt astronauten, att resa dit om rymdraketen kan åka med 30 % av ljushastigheten?
b) Hur snabb måste rymdraketen vara om astronauten ska hinna fram på 10 år, enligt sin egen tidmätning?

I uppgift a) kom jag fram till att man kan använda sig av formeln för Längdkontraktion där $l_{0} = \frac{l}{\sqrt{1 - {(\frac{v}{c})}^{2}}}$ . Dock har jag svårt med att förstå skillnaden mellan l₀/t₀ och l/t. Jag har fått lära mig att l₀/t_o är "egentid", men när jag tänker på det viset får jag fel svar.

I uppgift b) har jag ganska svårt med att fortsätta.

Säg att tiden det tar för ljuset att nå Alpha Centauri är t (4,3 år i problemet) sett i en referensram där jorden och stjärnan är i vila.

Avståndet till stjärnan är då l₀ = c $\cdot$ t, sett i ovan nämnda referensram.

Antag att astronauten har hastigheten v, relativt ovan nämnda referensram. Avståndet l till stjärnan sett från astronautens horisont är då längdkontraherat. Därför gäller det att

l = $\frac{l_{0}}{γ}$ = $l_{0}$ $\sqrt{1 - {(v / c)}^{2}}$ = c $\cdot$ t $\cdot$ $\sqrt{1 - {(v / c)}^{2}}$ .

Vidare, om resan tar tiden t₀ för astronauten, så gäller det att l = v $\cdot$ t_0. Vi har därför att

v $\cdot$ t₀ = c $\cdot t \cdot$ $\sqrt{1 - {(v / c)}^{2}}$ (1).

I a) vet vi att v = 0,3c, vilket vi kan sätta in i ekvationen ovan

0,3c $\cdot$ t₀ = c $\cdot$ t $\cdot \sqrt{0, 91}$ , vilket ger

t₀ = $\frac{\sqrt{0, 91}}{0, 3}$ $\cdot$ t = 14 år.

På b) kan du återigen använda ekvation (1), men nu är t och t₀ kända och du skall räkna ut v.

Svara