Speciell integral

Säg att man provar:

$t = \ln (x+1)$

$e^t = x-1 \Rightarrow x = e^t-1$

$\frac{dt}{dx} = \frac{1}{x+1}$

Känns inte som det är en framkomlig väg...

Edit: Blev lite knas med mathml här, byter ut mot bilder senare när jag har tid,  idén med serieutveckling av ln(x+1) borde framgå  ändå :)

För $|x|<>$ (eller utökat $-1$ gäller (Maclaurinuteckling)

$\ln(1+x)=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{(k-1)}x^k}{k}$

Delar vi med x får ytterligare en konvergent potenserie där resten går mot noll så länge $-1$

$\displaystyle \frac{\ln(1+x)}{x}=\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^kx^k}{k+1}$

En potensserie får (till skillnad från en godtycklig funktionsserie) integreras och deriveras term för term i intervallet för dess konvergensradie.

Om $\displaystyle f(x)=\sum_{k=0}^{\infty}a_kx^k$ är

$\displaystyle \int_0^x f(t)\,dt=\sum_{k=0}^\infty \frac{a_k}{k+1}x^{k+1}$

Vi sätter in vårt $a_k$ och låter x=1 (För tydlighets skull byter vi också ut x:et i originalfunktionen till t)

$\displaystyle \int_0^1 \frac{\ln(t+1)}{t}\,dt=\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(k+1)^2}$

Vi skriver ut några termer så vi ser vad vi har:

$\displaystyle \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(k+1)^2}=1-\frac{1}{4}+\frac{1}{9}-\frac{1}{16}+\frac{1}{25}-\frac{1}{36}+...$

Nu är vi egentligen färdiga, men vi kan snygga till resultatet lite. Från kursen i Fourieranalys kommer vi ihåg att  en jämn funktion på intervallet $[-\pi,\pi]$, kan skrivas som

$\displaystyle f(x)=\frac{1}{2}a_0+\sum_1^\infty a_n\cos(nx)$

Med valet $f(x)=x^2$ blir $a_n$

$\displaystyle a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi x^2\cos(nx)\,dx=\frac{4(-1)^n}{n^2}$.

Om vi nu gör vi det listiga valet x=0 gäller alltså

$\displaystyle x^2=0=\frac{\pi^2}{3}+\sum_1^\infty \frac{4(-1)^n}{n^2}\cdot 1$

$\displaystyle -\frac{\pi^2}{12}=\sum_1^\infty \frac{(-1)^n}{n^2}=-1+\frac{1}{4}-\frac{1}{9}+\frac{1}{16}-\frac{1}{25}+...$

Men detta är exakt samma summa vi fick ovan, fast med omvänt tecken! Multiplicerar vi båda sidor med -1 (vi justerar bara indexet) får vi:

$\displaystyle \sum_0^\infty \frac{(-1)^n}{(n+1)^2}=\frac{\pi^2}{12}$

Alltså

$\boxed{\displaystyle \int_0^1 \frac{\ln(x+1)}{x}=\frac{\pi^2}{12}}$

Mycket vackert Guggle! 👏 Hatten av för den snygga lösningen! 🎩