Spännandissimo problem

Problemet lyder:

Anta att $\vec{u} = 1$ . Visa att för varje vektor $\vec{v}$ är $\vec{w} = \vec{v} - (\vec{u} ∙ \vec{v}) \vec{u}$ vinkelrätt mot $\vec{u}$ . Beskriv grafisk vektorn, alltså rita en principiell bild, gärna med färgkritor av $\vec{w}$ .

Vilket spännande, spännande problem, som luktar gott som en croissant och ON-vektorer, dvs nästa kapitlet. Löser man den får man bättre förståelse på köpet. Dessutom får man rita med kritor, vad mer kan pöbeln önska sig?

Snart är det nog dags att sluta rita i sketchtoy och börja i Desmos. Eller i vilket program kan man bäst rita vektorer o sånt?

Jag tänkte testa med en vinkel på 45° mellan $\vec{u}, \vec{v}$ .

$\vec{u} ∙ \vec{v} = \vec{u} \vec{v} \cos 45 °$ = $1 \cdot \sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt[]{2}} = 1$

$\vec{w} = \vec{v} - (1) \vec{u}$

Om vi vill visa att de är vinkelrätta mot varan då måste de ha dot product noll.

$\vec{u} ∙ \vec{w} = (\vec{v} - \vec{u}) ∙ \vec{u} \Leftrightarrow \vec{u} ∙ \vec{w} = (\vec{v ∙} \vec{u} - \vec{u} \vec{u}) = 1 - 1^{2} = 0$

Nu fick jag tillräckligt Matteglädje™ av detta för att försöka abstrahera:

$\vec{u} ∙ \vec{v} = \vec{u} \vec{v} \cos α$

$\vec{w} = \vec{v} - (\vec{u} \vec{v} \cos α) \vec{u} \vec{u} ∙ \vec{w} = \vec{u} ∙ \vec{v} - (\vec{u} \vec{v} \cos α) \vec{u} \vec{u} = (\vec{u} \vec{v} \cos α) - (\vec{u} \vec{v} \cos α) {|u|}^{2} (s o m ä r 1) = 0$

Nailed it!!! (hoppas jag).

Men vad har jag färgkritor bilden till? Vad är det jag ska lösa geometrisk? Vad är det jag skulle rita?

Och varför liknar et ON-vektorer?

Den algebraiska lösningen är helt rätt. Det du ska göra grafiskt är att förstå vad $w$ är för vektor. För att förstå det behöver du nog först förstå vad $(u\cdot v)u$ är. Vad har den för riktning? Vad har den för längd?

haraldfreij skrev :
Den algebraiska lösningen är helt rätt. Det du ska göra grafiskt är att förstå vad $w$ är för vektor. För att förstå det behöver du nog först förstå vad $(u\cdot v)u$ är. Vad har den för riktning? Vad har den för längd?

Vad kan den ha för riktning?

Jo, den kanske har samma riktning än vinkel mellan $\vec{u} o c h \vec{v}$ ? Det är den enda böjning från planet som jag kan se här?

Den har nog längden $(u\cdot v)u$ , dvs $(|u| |v| \cos α) |u|$ ... .. men alla vektorer u =1 dvs att den har längden v?

Edit: jag redigerade lige texten för att jag har en pinsamt tendens att skriva samtidigt som jag tänker.-...

Var noga med att sätta ut beloppstecken för längderna. $|(u\cdot v)u|=(u\cdot v)|u|=|v|\cos(\alpha)$ , och riktningen är densamma som för u. Vad betyder cosinus? Tänk på $v$ som en sida i en triangel.

Och vad blir sen kvar när du drar bort $(u\cdot v)u$ från $v$ ?

haraldfreij skrev :
Var noga med att sätta ut beloppstecken för längderna. $|(u\cdot v)u|=(u\cdot v)|u|=|v|\cos(\alpha)$ , och riktningen är densamma som för u. Vad betyder cosinus? Tänk på $v$ som en sida i en triangel.
Och vad blir sen kvar när du drar bort $(u\cdot v)u$ från $v$ ?

Cosinus är den närliggande kateten, och vad blir kvar är noll.

Förlåt, jag blir inte klockare...

Cosinus är närliggande kateten om hypotenusan har längd 1. Men om hypotenusan istället har längden $|v|$ , så får kateten längd $|v|\cos(\alpha)$ .

Du vet att $(u\cdot v)u$ är parallell med u, och är lika lång som kateten som står mot vinkeln $\alpha$ i en rätvinklig triangel med $v$ som hypotenusa. Ser du vart vi är på väg? $(u\cdot v)u$ ÄR alltså precis en sådan katet! Rita figuren, om du inte gjort det än. Vi kallar det projektionen av $v$ på $u$

Vad betyder det för $v-(v\cdot u)u$ ?

Jag känner lite grand att vi är på väg mot en projektion, men jag har svårt att organisera tänkandet!

Du menar, något i den här andan? Jag försökte göra $\overline{u}$ och $\left( \overline{u} \bullet \overline{v} \right) \overline{u}$ sammanfalla med varandra.

Precis så, men det blir tydligare om de _inte_ sammanfaller, vilket de antagligen inte gör.

Stor tack för hjälpen haraldjfreij,

Vi löste denna på tävlan idag, så jag typ förstår vad det handlar om nu. Eller jag viste exakt vad det var för 4 timmar sedan, nu har jag amnesia... (det är bara att repetera)

Svara

Visa senaste svar