Span av matris

Kolonnrummet till matrisen $\mathsf{A}$ är det linjära höljet av kolonnerna i $\mathsf{A}$.

Om jag ser rätt, har du två pivotkolonner i matrisen, efter du har gjort Gausseliminering. Det linjära höljet består av dessa två kolonnvektorer.

Så det första jag bör göra är en radreducering?

Just precis.

Är de två första kolonnerna pivotkolonner?

Ja, precis

Jag är inte helt övertygad, kan ni ge exempel på två genererande element som spänner höljet?

Ingen aning! Hur bör man göra istället? Jag ska även bestämma en bas för kolonnrummet för A, kanske hjälper att börja med det?

En liten förklarande text:

Här är hela uppgiften: Men vad är så skillnaden på ColA (som jag antar är basen för kolonnrummet) och SpanA? Och vilken av de är det vi räknat ut?

På första frågan, tänk på att bilden av en matris är ett underrum i målmängden. Vad är det linjära höljet av ett underrum?

Är det inte alla kolumner i underrummet som blir det linjära höljet? Eller tänker jag helt fel?

En delmängd U till ett vektorrum V är ett underrum till V om och endast om span(U) = U.

Så i vårt fall får vi, då vi vet att im(A) (bilden av A) är ett underrum till ${\mathrm{ℝ}}^3$, att span(im(A)) = im(A).

Sedan vet vi ju även att im(A) är det linjära höljet av kolumnerna i matrisen A.

Ah, jag tror jag hänger med nu! Vad bör jag göra?

Okej så jag har kommit fram till att en bas för ColA är $\left[\begin{array}{c}3\\ 3\\ 3\end{array}\right]$, $\left[\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right]$

Men jag förstår fortfarande inte hur man får fram SpanA