Solen över horisonten
Mitt på dagen den 21 juni dvs. under dag 172 på året, når solen sin högsta höjd över horisonten under året. I Kiruna står den som högst 55 grader över horisonten. Under 28 dagar kring 21 december, dvs. dag 355 på året, når solen aldrig upp över horisonten. Enligt en enkel modell kan solens högsta höjd h grader över horisonten under årets dag n beskrivas med en trigonometrisk funktion h(n)= A sin(bn + C)+D. Bestäm konstanterna A, B, C och D som gäller för Kiruna.
Jag tänkte att A blev 27,5*C eftersom jag ansåg att lägsta värdet var 0 grader ((55-0)/2 = 27,5) Men det stämmer inte överens med facit. Jag vet att B kan skrivas som 2pi/365. Sen vet jag inte vad jag ska göra.
Nej lägsta värdet är ju negativt, solen är en bra bit under horisonten på julafton.
Det låter konstigt att solen skulle vara 55 grader över horisonten på midsommar. Jag måste kolla.
På midsommar står solen i zenith (dvs rakt upp) över Kräftans vändkrets ungefär 23,5 grader norr om ekvatorn. Kiruna ligger 68 grader norr om ekvatorn. För varje grad du rör dig norrut från vändkretsen så sjunker solen en grad mot horisonten.
68–23,5 = 44,5 solen sjunker alltså 44,5 grader från 90 grader över horisonten.
90–44,5 = 45,5 grader.
Jag tror du har fått fel data. På midsommar når solen ungefär 45 grader över horisonten i Kiruna. Då kan man kanske inte lita på facit heller…
Marilyn skrev:Jag tror du har fått fel data. På midsommar når solen ungefär 45 grader över horisonten i Kiruna. Då kan man kanske inte lita på facit heller…
Uppgiften är alltså fel och går inte att lösa?
Det vet jag inte riktigt. Du kan nog få fram ett svar enligt givna data. Om det innebär att man måste flytta vändkretsen tio grader norrut, vet jag inte vad konsekvenserna blir.
Det avgörande är upplysningen att solen ligger i horisonten 14 dagar före och 14 dagar efter midvintersolståndet. Då är alltså h = 0.
Vad säger facit? 55 kanske är en felskrivning för 45.
Bra idé.
h(n) = A sin (…) + D
När solen står som högst är sinusvärdet 1, så bilda A+D från facit. Om det är 55° så är det ”a dog’s breakfast”, det innebär midnattssol i Motala. Är det 45° så kan du lösa uppgiften med 45 grader i stället för 55.
A = 27,9 och D = 27,1
GoskJW skrev:A = 27,9 och D = 27,1
Egentligen ska man inte lösa hela uppgiften, utan bara ge tips, men eftersom det finns flera frågetecken i texten (se nedan), så visar jag min lösning.
För n = 172 har vi h(n) = A+D
Året är 365,25 dygn, ett halvt år är ≈ 182,6 dygn, så solen står lägst när n = 172+182,6 = 354,6.
(Det är petigt, jag vet, men 28 dygns midvintermörker är inte så långt.)
Det ger h(172) = A+D och h(354,6) = –A+D
Nu tittar vi på vinkeln (Bn+C). Den är 90° för n = 172 och 270° för n = 354,6 eftersom sinus är störst och minst då.
172B+C = 90 och 354B+C = 270 ger 90–172B = 270–354,6B dvs B = 180/182,6 ≈ 0,9858 (vi skulle gärna haft B = 1, men tyvärr har inte året 360 dagar). Vi får C ≈ –79,55
14 dygn före midvintersolståndet är h(n) = 0 eftersom solen ligger i horisonten då. Alltså
0 = h(340,6) = A sin(0,9858*340,6–79,55)+D = –0.9851A+D
Uppgiften hävdar att A+D = 55, det är fel. Om vi i stället sätter A+D = 45 så får vi
D = 45–A och D = 0,9851A vilket ger A ≈ 22,3 och D ≈ 22,7.
Jag tycker uppgiften kan kritiseras. Dels såklart det uppenbara att 55 grader är orimligt. Men dessutom är det så att solen anses befinna sig över horisonten så länge något av solskivan syns, man går alltså inte på solens medelpunkt. Och på grund av att solstrålarna bryts i atmosfären, så syns solen även när den egentligen ligger helt under horisonten.
Eftersom solen rör sig nästan horisontellt runt midvintern, så är uppgiften att solen är försvunnen under 28 dygn rätt osäker, kanske är den egentligen under horisonten betydligt längre. Och det kommer att påverka konstanterna en hel del, misstänker jag.
Synd på en bra övning om trigonometri.
