Sökt: Potentialfunktion+kurvintegral (FLERVARIABELANALYS)
Jag har fått givet:
- ett område D som definieras av alla (x,y) : y>0,
- en parametriserad kurva r(t)=(1,1) + ( 1/e^t ) * ( cos(t), sin(t) ) = ( 1 + (cos(t) ) / e^t, 1 + ( sin(t) ) /e^t),
- och ett vektorfält F(x,y) = ( (ax + by) / (x^2+y^2), (cx+dy) / (x^2+y^2) )
Jag behöver hjälp med ett sätt att beräkna för vilka konstanter a,b,c,d som F är konservativt (i området D).
Jag söker dels en metod för att hitta potentialfunktionen samt "start- och slutgränser" för beräkning av kurvintegralen av vektorfältet på området D.
Supertacksam för alla svar, eventuellt ledtrådar och tips.
Vad gäller för ett konservativt vektorfält?
T.ex. att de korsvisa partiella derivatorna är lika. En idé är att lösa den ekvationen (alltså om F(x,y)=(F1(x,y),F2(x,y)) så dF1/dy=dF2/dx och kombinera med satsen om enkla, sammanhängande områden. Om jag hittar a,b,c,d som uppfyller ekvationen kan jag då slutleda att vektorfältet är konservativt för dessa?
Ja, om inte området innehåller origo.
Precis, och D innehåller inte origo så det funkar. Men hur gör jag om samma ska beräknas på ett område som innehåller origo, tex området y>-1? Går det?
Nej, fältet har en singularitet i origo och är då odefinierat. Allt är dock deriverbart och fint en radie epsilon från origo (för alla positiva epsilon).
