Snitt och union

Hur är uppgiften formulerad? Det är väldigt svårt att försöka härleda detta från bara ditt svar.

Smaragdalena skrev:

Hur är uppgiften formulerad? Det är väldigt svårt att försöka härleda detta från bara ditt svar.

Här är frågan :) 

Är uppgiften att beräkna sannolikheten att väg c är blockerad, givet att åtminstone någon av vägarna är blockerad?

Händelserna är oberoende, dvs c kan vara blockerad samtidigt som någon av de andra kan vara blockerade. Därför måste du beräkna chansen att endast c är blockerad, alltså chansen att c är blockerad givet att bara en är blockerad. Det som händer i täljaren är att c kan inte vara blockerad samtidigt som den inte är blockerad, ex (C snitt (A-streck B C-streck)). Därför får du bara en händelse där C är blockerad och de andra inte är.

medoz skrev:

Händelserna är oberoende, dvs c kan vara blockerad samtidigt som någon av de andra kan vara blockerade. Därför måste du beräkna chansen att endast c är blockerad, alltså chansen att c är blockerad givet att bara en är blockerad. Det som händer i täljaren är att c kan inte vara blockerad samtidigt som den inte är blockerad, ex (C snitt (A-streck B C-streck)). Därför får du bara en händelse där C är blockerad och de andra inte är.

Aha, så alltså kan det inte vara det första snittet för då är ju A blockerad men inte B,C och då kan ju inte C vara blockerad. Den andra unionen kan det inte heller vara för då är B blockerad, men varken C eller A. I den sista unionen är C blockerad men varken A eller B och då kan ju inte C vara blockerad om den redan är blockerad. Men man har bara struckit över till man fått kvar A-streck snitt B-streck inom parentesen [det borde väl stå A-streck snitt B-streck i lösningförslaget och inte bara A-streckB-streck], och därefter tar med det med snitt C utanför parentesen? Hoppas du förstår hur jag menar, känner att det blev lite rörigt haha! 

Kanske blir lättare om man räknar rent matematiskt. Du kan förenkla täljaren med hjälp av mängdlära, låt A U B = A+B, A snitt B = AB:

$P\left(C\right(\left(A\overline{B}\overline{C}\right)+\left(\overline{A}B\overline{C}\right)+\left(\overline{A}\overline{B}C\right)\left)\right)\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}P\left(\right(A\overline{B}\overline{C}C)+(\overline{A}B\overline{C}C)+(\overline{A}\overline{B}CC\left)\right)$

C's komplement snitt C blir den tomma mängden, och C snitt C blir C. Vi vet också att en mängd snitt den tomma mängden blir den tomma mängden.

$P\left(\right(A\overline{B}\overline{C}C)+(\overline{A}B\overline{C}C)+(\overline{A}\overline{B}CC\left)\right)\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}P(\varnothing +\varnothing +\overline{A}\overline{B}C)\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}P\left(\overline{A}\overline{B}C\right)$

Detta säger det jag försökte förklara ovan, att C kan inte vara blockerad samtidigt (snitt) som den inte är blockerad. Att C är blockerad samtidigt som C är blockerad betyder att C är blockerad. Någon som är kunnig får gärna rätta mig om jag har fel.

Nämnaren kan du beräkna mha addition av sannolikheter.

Hej!

Låt $E$ beteckna händelsen att exakt en av vägarna $A$, $B$, $C$ är blockerad. Du vill beräkna den betingade sannolikheten $P(C|E)$.

Per definition är denna sannolikhet kvoten $P(C och E)/P(E)$ och eftersom $C$ är en delhändelse till $E$ blir $P(C och E) = P(C)$, så den betingade sannolikheten är lika med

    $P(C)/P(E)$.

Du vet att $P(C) = 1/3$ så det återstår att beräkna $P(E)$. Händelserna $A$, $B$, $C$ och deras respektive komplementhändelser är oberoende, vilket gör att den sökta sannolikheten beräknas till

    $P(E)=P(A och \bar{B} och \bar{C}) + P(\bar{A} och B och \bar{C}) + P(\bar{A} och \bar{B} och C) =$

$=\frac{1}{5}\frac{3}{4}\frac{2}{3}+\frac{4}{5} \frac{1}{4}\frac{2}{3}+\frac{4}{5}\frac{3}{4}\frac{1}{3} = \frac{26}{60}$. 

Det ger den sökta sannolikheten

    $P(C|E) = \frac{60}{3\cdot 26} = \frac{20}{26}\approx \frac{20}{25} = 4/5 = 0,8.$

Albiki skrev:

Per definition är denna sannolikhet kvoten $P(C och E)/P(E)$ och eftersom $C$ är en delhändelse till $E$ blir $P(C och E) = P(C)$

Nej, C kan föreligga även då A eller B, dvs vägen C kan vara blockerad utan att vi är i E.

Sannolikheten att någon av de tre vägarna är blockerad är komplementhändelsen till att alla vägarna är farbara. Sannolikheten att alla tre vägarna är farbara är $\frac{4}{5}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{2}{3}=\frac{2}{5}$. Sannolkheten att åtminstone en av vägarna är blockerad är alltså $\frac{3}{5}$.

Sannolikheten att väg c är blockerad är $\frac{1}{3}$. Sannolikheten att väg c är blockerad, givet att åtminstone en av vägarna är blockerad, är $\frac{\frac{1}{3}}{\frac{3}{5}}=\frac{1}{3}·\frac{5}{3}=\frac{5}{9}$.

Det vore väldigt bra om vi kunde få en bild av själva frågan också, inte bara lullullet runtomkring. Skall frågan tolkas som Albiki gjorde (d v s att vi vet att exakt en av vägarna är blockerad) eller som jag gjorde (d v s att åtminstone en av vägarna är blockerad)?

Smaragdalena skrev:

Sannolikheten att någon av de tre vägarna är blockerad är komplementhändelsen till att alla vägarna är farbara. Sannolikheten att alla tre vägarna är farbara är $\frac{4}{5}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{2}{3}=\frac{2}{5}$. Sannolkheten att åtminstone en av vägarna är blockerad är alltså $\frac{3}{5}$.

Sannolikheten att väg c är blockerad är $\frac{1}{3}$. Sannolikheten att väg c är blockerad, givet att åtminstone en av vägarna är blockerad, är $\frac{\frac{1}{3}}{\frac{3}{5}}=\frac{1}{3}·\frac{5}{3}=\frac{5}{9}$.

Det vore väldigt bra om vi kunde få en bild av själva frågan också, inte bara lullullet runtomkring. Skall frågan tolkas som Albiki gjorde (d v s att vi vet att exakt en av vägarna är blockerad) eller som jag gjorde (d v s att åtminstone en av vägarna är blockerad)?

Frågan ska rimligen vara "Hur stor är sannolikheten att väg c är blockerad givet att exakt en av vägarna är blockerad" :)

Edit: Eftersom det verkar föreligga lite oklarheter i tråden bland både frågeställare och hjälpare gäller alltså

Om E är händelsen att exakt en väg är blockerad så representerar den sammanlagda arean (sannolikhetsmassan) av de tre blå områdena händelsen E.

$P(C\cap E)$ är då den del av C (det blåfärgade området i cirkel C) som inträffar i E.

Eftersom händelserna är oberoende blir den betingade sannolikheten

$P(C|E)=\frac{P(C\overline{A}\overline{B})}{P(C\overline{A}\overline{B} \cup B\overline{C}\overline{A}\cup A\overline{B}\overline{C})}\approx 0.46$

Frågan ska rimligen vara "Hur stor är sannolikheten att väg c är blockerad givet att exakt en av vägarna är blockerad" :)

Det vore bra om avenged93 kunde lägga upp en bild av HELA uppgiften, så att vi kunde få detta bekräftat. /moderator

Smaragdalena skrev:

Frågan ska rimligen vara "Hur stor är sannolikheten att väg c är blockerad givet att exakt en av vägarna är blockerad" :)

Det vore bra om avenged93 kunde lägga upp en bild av HELA uppgiften, så att vi kunde få detta bekräftat. /moderator

Det stämmer att frågan är ""Hur stor är sannolikheten att väg c är blockerad givet att exakt en av vägarna är blockerad", ursäkta en luddig frågeställning av mig!

Guggle skrev:

Smaragdalena skrev:

Sannolikheten att någon av de tre vägarna är blockerad är komplementhändelsen till att alla vägarna är farbara. Sannolikheten att alla tre vägarna är farbara är $\frac{4}{5}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{2}{3}=\frac{2}{5}$. Sannolkheten att åtminstone en av vägarna är blockerad är alltså $\frac{3}{5}$.

Sannolikheten att väg c är blockerad är $\frac{1}{3}$. Sannolikheten att väg c är blockerad, givet att åtminstone en av vägarna är blockerad, är $\frac{\frac{1}{3}}{\frac{3}{5}}=\frac{1}{3}·\frac{5}{3}=\frac{5}{9}$.

Det vore väldigt bra om vi kunde få en bild av själva frågan också, inte bara lullullet runtomkring. Skall frågan tolkas som Albiki gjorde (d v s att vi vet att exakt en av vägarna är blockerad) eller som jag gjorde (d v s att åtminstone en av vägarna är blockerad)?

Frågan ska rimligen vara "Hur stor är sannolikheten att väg c är blockerad givet att exakt en av vägarna är blockerad" :)

 

Edit: Eftersom det verkar föreligga lite oklarheter i tråden bland både frågeställare och hjälpare gäller alltså

Om E är händelsen att exakt en väg är blockerad så representerar den sammanlagda arean (sannolikhetsmassan) av de tre blå områdena händelsen E.

$P(C\cap E)$ är då den del av C (det blåfärgade området i cirkel C) som inträffar i E.

Eftersom händelserna är oberoende blir den betingade sannolikheten

$P(C|E)=\frac{P(C\overline{A}\overline{B})}{P(C\overline{A}\overline{B} \cup B\overline{C}\overline{A}\cup A\overline{B}\overline{C})}\approx 0.46$

 Tack!