16 svar
1319 visningar
ATsmartis behöver inte mer hjälp
ATsmartis 153 – Fd. Medlem
Postad: 7 okt 2018 17:10 Redigerad: 7 okt 2018 17:10

sneda asymptoter

f(x)=x2arctan(x)3x-2

 

Jag ska hitta lodrätt asymptot, vilket jag gjort genom att titta på när nämnaren=0 och det blir x=-2/3.

 

Sedan ska jag hitta en sned asymptot då x och en sned asymptot då x-

 

Jag förstår till stor del hur man tar fram en sned asymptot när man inte har med trigonometri. Man använder limxf(x)-(mx+b=0 och division.

 

Men jag vet inte hur jag ska börja med denna då arctan är med i uttrycket, så behöver lite hjälp med uträkningen. 

Micimacko 4088
Postad: 7 okt 2018 17:22 Redigerad: 7 okt 2018 17:23

Om du hittar en bild på arctan så ser du att den går mot +- pi/2 när x går mot +- oändligheten.  Om det var vad du undrade ;)

ATsmartis 153 – Fd. Medlem
Postad: 7 okt 2018 17:33

Jag har tittat på grafen, men det är inte riktigt det som är uppgiften utan det är att räkna ut dom sneda asymptoterna då x går mot ±. Vilket jag behöver hjälp med. 

Micimacko 4088
Postad: 7 okt 2018 17:44 Redigerad: 7 okt 2018 17:45

Jag  tror att det borde bli typ såhär 

AlvinB 4014
Postad: 7 okt 2018 17:50 Redigerad: 7 okt 2018 17:55

På det sättet som Micimacko gör (det är en fulvariant av polynomdivision, men vanlig polynomdivision funkar lika bra) kan man få fram mm-värdet, men konstanten bb är något svårare.

Vi söker bb så att:

limx\lim_{x\to\infty} f(x)f(x)-(π6x+b)=0-(\dfrac{\pi}{6}x+b)=0

Eftersom bb är konstant kan man bryta ut den ur gränsvärdet och få:

-b+limx-b+\lim_{x\to\infty} f(x)f(x)-π6x=0-\dfrac{\pi}{6}x=0

och om man adderar bb till båda led får man slutligen:

b=limxb=\lim_{x\to\infty} f(x)f(x)-π6x-\dfrac{\pi}{6}x.

Du kan alltså få fram bb genom att ta reda på detta gränsvärde.

ATsmartis 153 – Fd. Medlem
Postad: 7 okt 2018 18:06

Jag behöver nog få det förklarat lite djupare för att förstå. Hur skulle man kunna utföra polynomdivision på denna funktion när man har arctan med? 

ATsmartis 153 – Fd. Medlem
Postad: 7 okt 2018 18:17 Redigerad: 7 okt 2018 18:21

Kan detta stämma? 

Om så är frågan vad jag sedan ska göra? 

 

Edit: Det ska vara ett + i slutet och inte ett -

AlvinB 4014
Postad: 8 okt 2018 17:54

Okej, jag tror jag ska tydliggöra.

När vi har en enkel kvot mellan två polynom kan man använda polynomdivision för att se vilket uttryck funktionen kommer gå mot när x0x\to0.

Nu när vi har en funktion med arctan kanske man skulle kunna tänka sig att göra så här:

arctan(x)·x23x-2=\dfrac{\arctan(x)\cdot x^2}{3x-2}= arctan(x)·\arctan(x)\cdot x23x-2=\dfrac{x^2}{3x-2}= arctan(x)\arctan(x) (x3+29+49(3x-2))(\dfrac{x}{3}+\dfrac{2}{9}+\dfrac{4}{9(3x-2)})

och bara byta ut arctan-funktionen med dess gränsvärde då arctan(x)\arctan(x)\to π2\frac{\pi}{2} när xx\to\infty, men detta ger fel svar eftersom arctan-funktionen krånglar till det på andra sätt. (Eller egentligen blir mm-värdet rätt men bb-värdet fel, men jag fattar att detta blir rörigt så vi skrotar denna metod)

Vi måste ha ett bättre sätt att hitta mm- och bb-värdena. Ett bra sätt att hitta mm-värdet är att undersöka gränsvärdet:

m=limxf(x)xm=\lim_{x\to\infty} \dfrac{f(x)}{x}

Enkelt uttryckt dividerar vi med xx\to\infty för att få fram mm-värdet. (Konstanten bb går mot noll när man delar med stora xx, och alltså är det bara mm-värdet vi får).

I vårt fall får vi:

m=limxarctan(x)·x23x-2x=limxarctan(x)·x23x2-2x=π2·13=π6m=\lim_{x\to\infty}\dfrac{\frac{\arctan(x)\cdot x^2}{3x-2}}{x}=\lim_{x\to\infty}\dfrac{\arctan(x)\cdot x^2}{3x^2-2x}=\dfrac{\pi}{2}\cdot\dfrac{1}{3}=\dfrac{\pi}{6}

Nu när vi har mm-värdet saknas bara bb-värdet. Som jag beskrev i mitt inlägg ovan går det att göra om uttrycket

limx\lim_{x\to\infty} f(x)-f(x)- (π6+b)=0(\dfrac{\pi}{6}+b)=0

till

b=limxb=\lim_{x\to\infty} f(x)-f(x)- π6\dfrac{\pi}{6}

Försök att beräkna detta gränsvärde. Det är lite svårare än mm-gränsvärdet, men du har nog ett hum om hur du ska börja i alla fall.

ATsmartis 153 – Fd. Medlem
Postad: 8 okt 2018 23:41

Tusen tack för förklaringen.

 

Jag försökte mig på att lösa gränsvärdet för att få fram b, men hur jag än vrider och vänder på det så får jag inte ut någon vettig lösning. b=limxx2arctan(x)3x+2-π6x=limx6x2arctanx-3πx2-2πx18x+12

där jag lärt mig att endast det med högst exponent blir kvar då de växer snabbast när x går mot oändligheten. Men det ger inget rimligt svar. Så jag behöver nog ytterligare vägledning. 

AlvinB 4014
Postad: 9 okt 2018 09:14 Redigerad: 9 okt 2018 09:14

Är det 3x-23x-2 eller 3x+23x+2 i nämnaren i ursprungsuppgiften? Du skriver 3x-23x-2, men räknar som om att det är 3x+23x+2.

Nu räknar jag med 3x-23x-2, men det går att räkna på precis samma sätt om nämnaren är 3x+23x+2. Att skaffa en gemensam nämnare som du gjort är en utmärkt start.

b=limxx2arctan(x)3x-2-π6x=limx6x2arctan(x)-3πx2+2πx18x-12=b=\lim_{x\to\infty}\dfrac{x^2\arctan(x)}{3x-2}-\dfrac{\pi}{6}x=\lim_{x\to\infty}\dfrac{6x^2\arctan(x)-3\pi x^2+2\pi x}{18x-12}=

Härifrån skulle jag använda l'Hôpitals regel:

=limx12xarctan(x)+6x21+x2-6πx+2π18==\lim_{x\to\infty}\dfrac{12x\arctan(x)+\frac{6x^2}{1+x^2}-6\pi x+2\pi}{18}=

Nu kan vi bryta ut 118\frac{1}{18} ur gränsvärdet:

=118(limx=\dfrac{1}{18}(\lim_{x\to\infty} 12xarctan(x)12x\arctan(x) +6x21+x2-6πx+2π)=+\dfrac{6x^2}{1+x^2}-6\pi x+2\pi)=

6x21+x2\frac{6x^2}{1+x^2} kommer att gå mot 66, alltså kan vi bryta ut detta och 2π2\pi ur gränsvärdet:

=118(2π+6+limx(12x(=\dfrac{1}{18}(2\pi+6+\lim_{x\to\infty}(12x( arctan(x)-\arctan(x)- π2))=\dfrac{\pi}{2}))=

Om man skriver om detta sista gränsvärde som en kvot:

=118(2π+6+limx12(arctan(x)-π2)1x)=\dfrac{1}{18}(2\pi+6+\lim_{x\to\infty}\dfrac{12(\arctan(x)-\frac{\pi}{2})}{\frac{1}{x}})

På detta gränsvärde går det återigen att tillämpa l'Hôpitals regel. Gör du det så är du i stort sett hemma.

Albiki 5096 – Fd. Medlem
Postad: 9 okt 2018 16:51

Hej!

Om funktionen f(x)=x2arctanx3x-2f(x) = \frac{x^2 \arctan x}{3x-2} har en linjär asymptot (y(x)=kx+my(x) = kx+m) när xx \to \infty så gäller det att

    k=limxf(x)/xk = \lim_{x\to \infty} f(x)/x och m=limxf(x)-kx.m = \lim_{x\to \infty} f(x) - kx.

Här gäller det att

    f(x)x=13-2/xarctanx13π2\frac{f(x)}{x} = \frac{1}{3-2/x} \arctan x \to \frac{1}{3} \frac{\pi}{2} när xx \to \infty

k=π/6k = \pi/6 och

    m=limx{x2arctanx-πx(3x-2)/6}/(3x-2)m = \lim_{x\to\infty} \{x^2\arctan x - \pi x(3x-2)/6\}/(3x-2).

Albiki 5096 – Fd. Medlem
Postad: 9 okt 2018 16:59 Redigerad: 9 okt 2018 17:00

Notera att man kan skriva

    x2arctanx=x2(2πarctanx)π2=π6·3x2(2πarctanx)x^2\arctan x = x^2 (\frac{2}{\pi} \arctan x) \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{6} \cdot 3x^2 (\frac{2}{\pi}\arctan x)

och att 2πarctanx1\frac{2}{\pi} \arctan x \to 1 när xx \to \infty. Det medför att man kan skriva

    x2arctanx-πx(3x-2)/6=π6·{3x2(2πarctanx-1)+2x}x^2\arctan x - \pi x(3x-2)/6 = \frac{\pi}{6} \cdot \{3x^2 (\frac{2}{\pi}\arctan x - 1) + 2x\}

vilket indikerar att

    limx{x2arctanx-πx(3x-2)/6}/(3x-2)=π6limx2x/(3x-2)=π/9\lim_{x\to\infty} \{x^2\arctan x - \pi x(3x-2)/6\}/(3x-2) = \frac{\pi}{6}\lim_{x\to\infty} 2x/(3x-2)=\pi/9.

AlvinB 4014
Postad: 9 okt 2018 17:17 Redigerad: 9 okt 2018 17:17
Albiki skrev:

Notera att man kan skriva

    x2arctanx=x2(2πarctanx)π2=π6·3x2(2πarctanx)x^2\arctan x = x^2 (\frac{2}{\pi} \arctan x) \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{6} \cdot 3x^2 (\frac{2}{\pi}\arctan x)

och att 2πarctanx1\frac{2}{\pi} \arctan x \to 1 när xx \to \infty. Det medför att man kan skriva

    x2arctanx-πx(3x-2)/6=π6·{3x2(2πarctanx-1)+2x}x^2\arctan x - \pi x(3x-2)/6 = \frac{\pi}{6} \cdot \{3x^2 (\frac{2}{\pi}\arctan x - 1) + 2x\}

vilket indikerar att

    limx{x2arctanx-πx(3x-2)/6}/(3x-2)=π6limx2x/(3x-2)=π/9\lim_{x\to\infty} \{x^2\arctan x - \pi x(3x-2)/6\}/(3x-2) = \frac{\pi}{6}\lim_{x\to\infty} 2x/(3x-2)=\pi/9.

 Intressant metod för att beräkna gränsvärdet. Tyvärr är det så att gränsvärdet (det du skriver på raden längst ned) är på formen /\infty/\infty och därför får man inte beräkna gränsvärdena för täljare och nämnare separat, vilket leder till fel svar.

Rätt svar ska nämligen bli π9-13\dfrac{\pi}{9}-\dfrac{1}{3}.

Guggle 1364
Postad: 9 okt 2018 17:26 Redigerad: 9 okt 2018 17:44
Albiki skrev:

Notera att man kan skriva


    x2arctanx-πx(3x-2)/6=π6·{3x2(2πarctanx-1)+2x}x^2\arctan x - \pi x(3x-2)/6 = \frac{\pi}{6} \cdot \{3x^2 (\frac{2}{\pi}\arctan x - 1) + 2x\}

vilket indikerar att

    limx{x2arctanx-πx(3x-2)/6}/(3x-2)=π6limx2x/(3x-2)=π/9\lim_{x\to\infty} \{x^2\arctan x - \pi x(3x-2)/6\}/(3x-2) = \frac{\pi}{6}\lim_{x\to\infty} 2x/(3x-2)=\pi/9.

Nej, så kan du inte göra. x2x^2 går mot oändligheten snabbare än (arctan(x)-π/2)(arctan(x)-\pi/2) går mot noll och du kommer därmed till fel slutsats. Det gäller att

limxx2(arctan(x)-π2)3x-2=limt0+(arctan(1t)-π2)3t-2t2=-13\displaystyle \lim_{x\to \infty}\frac{x^2(\arctan(x)-\frac{\pi}{2})}{3x-2}=\lim_{t\to 0^+}\frac{(\arctan(\frac{1}{t})-\frac{\pi}{2})}{3t-2t^2}=-\frac{1}{3}

Alltså blir det sökta gränsvärdet för konstanttermen mm

m=limxx2(arctan(x)-π2)+πx33x-2=π-39\displaystyle m=\lim_{x\to \infty}\frac{x^2(\arctan(x)-\frac{\pi}{2})+\frac{\pi x}{3}}{3x-2}=\frac{\pi-3}{9}

Guggle 1364
Postad: 9 okt 2018 17:57

Ett standardgränsvärde som man bör känna till och som förkortar beräkningarna avsevärt i den här tråden om man tillämpar det på rätt sätt är när xx tappert kämpar  mot arctan(x)\arctan(x)

limxx(arctan(x)-π2)=-1\displaystyle \lim_{x\to \infty}x(\arctan(x)-\frac{\pi}{2})=-1

ATsmartis 153 – Fd. Medlem
Postad: 9 okt 2018 21:54

Tack för all hjälp, jag ska räkna på detta :) 

Guggle 1364
Postad: 9 okt 2018 22:08

Glöm inte bort att du kan ha asymptot åt andra hållet  också dvs  x-x\to -\infty

Svara
Close