sneda asymptoter

Om du hittar en bild på arctan så ser du att den går mot +- pi/2 när x går mot +- oändligheten.  Om det var vad du undrade ;)

Jag har tittat på grafen, men det är inte riktigt det som är uppgiften utan det är att räkna ut dom sneda asymptoterna då x går mot $\pm \infty$. Vilket jag behöver hjälp med. 

Jag  tror att det borde bli typ såhär 

På det sättet som Micimacko gör (det är en fulvariant av polynomdivision, men vanlig polynomdivision funkar lika bra) kan man få fram $m$-värdet, men konstanten $b$ är något svårare.

Vi söker $b$ så att:

$\lim_{x\to\infty}$ $f(x)$$-(\dfrac{\pi}{6}x+b)=0$

Eftersom $b$ är konstant kan man bryta ut den ur gränsvärdet och få:

$-b+\lim_{x\to\infty}$ $f(x)$$-\dfrac{\pi}{6}x=0$

och om man adderar $b$ till båda led får man slutligen:

$b=\lim_{x\to\infty}$ $f(x)$$-\dfrac{\pi}{6}x$.

Du kan alltså få fram $b$ genom att ta reda på detta gränsvärde.

Jag behöver nog få det förklarat lite djupare för att förstå. Hur skulle man kunna utföra polynomdivision på denna funktion när man har arctan med? 

Kan detta stämma? 

Om så är frågan vad jag sedan ska göra? 

Edit: Det ska vara ett + i slutet och inte ett -

Okej, jag tror jag ska tydliggöra.

När vi har en enkel kvot mellan två polynom kan man använda polynomdivision för att se vilket uttryck funktionen kommer gå mot när $x\to0$.

Nu när vi har en funktion med arctan kanske man skulle kunna tänka sig att göra så här:

$\dfrac{\arctan(x)\cdot x^2}{3x-2}=$ $\arctan(x)\cdot$ $\dfrac{x^2}{3x-2}=$ $\arctan(x)$ $(\dfrac{x}{3}+\dfrac{2}{9}+\dfrac{4}{9(3x-2)})$

och bara byta ut arctan-funktionen med dess gränsvärde då $\arctan(x)\to$ $\frac{\pi}{2}$ när $x\to\infty$, men detta ger fel svar eftersom arctan-funktionen krånglar till det på andra sätt. (Eller egentligen blir $m$-värdet rätt men $b$-värdet fel, men jag fattar att detta blir rörigt så vi skrotar denna metod)

Vi måste ha ett bättre sätt att hitta $m$- och $b$-värdena. Ett bra sätt att hitta $m$-värdet är att undersöka gränsvärdet:

$m=\lim_{x\to\infty} \dfrac{f(x)}{x}$

Enkelt uttryckt dividerar vi med $x\to\infty$ för att få fram $m$-värdet. (Konstanten $b$ går mot noll när man delar med stora $x$, och alltså är det bara $m$-värdet vi får).

I vårt fall får vi:

$m=\lim_{x\to\infty}\dfrac{\frac{\arctan(x)\cdot x^2}{3x-2}}{x}=\lim_{x\to\infty}\dfrac{\arctan(x)\cdot x^2}{3x^2-2x}=\dfrac{\pi}{2}\cdot\dfrac{1}{3}=\dfrac{\pi}{6}$

Nu när vi har $m$-värdet saknas bara $b$-värdet. Som jag beskrev i mitt inlägg ovan går det att göra om uttrycket

$\lim_{x\to\infty}$ $f(x)-$ $(\dfrac{\pi}{6}+b)=0$

till

$b=\lim_{x\to\infty}$ $f(x)-$ $\dfrac{\pi}{6}$

Försök att beräkna detta gränsvärde. Det är lite svårare än $m$-gränsvärdet, men du har nog ett hum om hur du ska börja i alla fall.

Tusen tack för förklaringen.

Jag försökte mig på att lösa gränsvärdet för att få fram b, men hur jag än vrider och vänder på det så får jag inte ut någon vettig lösning. $b=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{x^{2}arc\tan \left(x\right)}{3x+2}-\frac{\pi }{6}x=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{6x^{2}arc\tan x-3\pi x^2-2\pi x}{18x+12}$

där jag lärt mig att endast det med högst exponent blir kvar då de växer snabbast när x går mot oändligheten. Men det ger inget rimligt svar. Så jag behöver nog ytterligare vägledning. 

Är det $3x-2$ eller $3x+2$ i nämnaren i ursprungsuppgiften? Du skriver $3x-2$, men räknar som om att det är $3x+2$.

Nu räknar jag med $3x-2$, men det går att räkna på precis samma sätt om nämnaren är $3x+2$. Att skaffa en gemensam nämnare som du gjort är en utmärkt start.

$b=\lim_{x\to\infty}\dfrac{x^2\arctan(x)}{3x-2}-\dfrac{\pi}{6}x=\lim_{x\to\infty}\dfrac{6x^2\arctan(x)-3\pi x^2+2\pi x}{18x-12}=$

Härifrån skulle jag använda l'Hôpitals regel:

$=\lim_{x\to\infty}\dfrac{12x\arctan(x)+\frac{6x^2}{1+x^2}-6\pi x+2\pi}{18}=$

Nu kan vi bryta ut $\frac{1}{18}$ ur gränsvärdet:

$=\dfrac{1}{18}(\lim_{x\to\infty}$ $12x\arctan(x)$ $+\dfrac{6x^2}{1+x^2}-6\pi x+2\pi)=$

$\frac{6x^2}{1+x^2}$ kommer att gå mot $6$, alltså kan vi bryta ut detta och $2\pi$ ur gränsvärdet:

$=\dfrac{1}{18}(2\pi+6+\lim_{x\to\infty}(12x($ $\arctan(x)-$ $\dfrac{\pi}{2}))=$

Om man skriver om detta sista gränsvärde som en kvot:

$=\dfrac{1}{18}(2\pi+6+\lim_{x\to\infty}\dfrac{12(\arctan(x)-\frac{\pi}{2})}{\frac{1}{x}})$

På detta gränsvärde går det återigen att tillämpa l'Hôpitals regel. Gör du det så är du i stort sett hemma.

Hej!

Om funktionen $f(x) = \frac{x^2 \arctan x}{3x-2}$ har en linjär asymptot ($y(x) = kx+m$) när $x \to \infty$ så gäller det att

    $k = \lim_{x\to \infty} f(x)/x$ och $m = \lim_{x\to \infty} f(x) - kx.$

Här gäller det att

    $\frac{f(x)}{x} = \frac{1}{3-2/x} \arctan x \to \frac{1}{3} \frac{\pi}{2}$ när $x \to \infty$

så $k = \pi/6$ och

    $m = \lim_{x\to\infty} \{x^2\arctan x - \pi x(3x-2)/6\}/(3x-2)$.

Notera att man kan skriva

    $x^2\arctan x = x^2 (\frac{2}{\pi} \arctan x) \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{6} \cdot 3x^2 (\frac{2}{\pi}\arctan x)$

och att $\frac{2}{\pi} \arctan x \to 1$ när $x \to \infty$. Det medför att man kan skriva

    $x^2\arctan x - \pi x(3x-2)/6 = \frac{\pi}{6} \cdot \{3x^2 (\frac{2}{\pi}\arctan x - 1) + 2x\}$

vilket indikerar att

    $\lim_{x\to\infty} \{x^2\arctan x - \pi x(3x-2)/6\}/(3x-2) = \frac{\pi}{6}\lim_{x\to\infty} 2x/(3x-2)=\pi/9$.

Albiki skrev:

Notera att man kan skriva

    $x^2\arctan x = x^2 (\frac{2}{\pi} \arctan x) \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{6} \cdot 3x^2 (\frac{2}{\pi}\arctan x)$

och att $\frac{2}{\pi} \arctan x \to 1$ när $x \to \infty$. Det medför att man kan skriva

    $x^2\arctan x - \pi x(3x-2)/6 = \frac{\pi}{6} \cdot \{3x^2 (\frac{2}{\pi}\arctan x - 1) + 2x\}$

vilket indikerar att

    $\lim_{x\to\infty} \{x^2\arctan x - \pi x(3x-2)/6\}/(3x-2) = \frac{\pi}{6}\lim_{x\to\infty} 2x/(3x-2)=\pi/9$.

 Intressant metod för att beräkna gränsvärdet. Tyvärr är det så att gränsvärdet (det du skriver på raden längst ned) är på formen $\infty/\infty$ och därför får man inte beräkna gränsvärdena för täljare och nämnare separat, vilket leder till fel svar.

Rätt svar ska nämligen bli $\dfrac{\pi}{9}-\dfrac{1}{3}$.

Albiki skrev:

Notera att man kan skriva

    $x^2\arctan x - \pi x(3x-2)/6 = \frac{\pi}{6} \cdot \{3x^2 (\frac{2}{\pi}\arctan x - 1) + 2x\}$

vilket indikerar att

    $\lim_{x\to\infty} \{x^2\arctan x - \pi x(3x-2)/6\}/(3x-2) = \frac{\pi}{6}\lim_{x\to\infty} 2x/(3x-2)=\pi/9$.

Nej, så kan du inte göra. $x^2$ går mot oändligheten snabbare än $(arctan(x)-\pi/2)$ går mot noll och du kommer därmed till fel slutsats. Det gäller att

$\displaystyle \lim_{x\to \infty}\frac{x^2(\arctan(x)-\frac{\pi}{2})}{3x-2}=\lim_{t\to 0^+}\frac{(\arctan(\frac{1}{t})-\frac{\pi}{2})}{3t-2t^2}=-\frac{1}{3}$

Alltså blir det sökta gränsvärdet för konstanttermen $m$

$\displaystyle m=\lim_{x\to \infty}\frac{x^2(\arctan(x)-\frac{\pi}{2})+\frac{\pi x}{3}}{3x-2}=\frac{\pi-3}{9}$

Ett standardgränsvärde som man bör känna till och som förkortar beräkningarna avsevärt i den här tråden om man tillämpar det på rätt sätt är när $x$ tappert kämpar  mot $\arctan(x)$

$\displaystyle \lim_{x\to \infty}x(\arctan(x)-\frac{\pi}{2})=-1$

Tack för all hjälp, jag ska räkna på detta :) 

Glöm inte bort att du kan ha asymptot åt andra hållet  också dvs  $x\to -\infty$