9 svar

213 visningar

elys behöver inte mer hjälp

Sneda asymptoter, uppgift 2448 matte 4

Hej!

Sitter fast på följande uppgift där jag ska hitta asymptoter till

a) $f (x) = \frac{x^{2}}{3 + x}$

b) $f (x) = \frac{x^{3} + 3}{x - 2}$

Vad jag gjorde i de båda uppgifterna var att bryta ut x i täljare och nämnare för att ta reda på vad gränsvärdet blir. Se exempel för a)

$\lim_{x \to \infty} \frac{x (x)}{x (\frac{3}{x} + 1)} - - > \frac{x}{0 + 1} - - > a s y m p t o t d ä r y = x$

Detta har fungerat alla andra gånger då jag ska ta fram sneda asymptoter. Exempelvis:

$\lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{3} + x^{2} - 5 x}{x^{2}} - - > \frac{x^{2} (3 x + 1 - \frac{5}{x})}{x^{2}} - - > a s y m p t o t d ä r y = 3 x + 1$

Min fråga: varför funkar inte denna metod för denna uppgift? Enligt facit är svaren a) y=x-3 och b) y= x+2

Du har fel metodik.

Om det finns en sned aymptot är den på formen y=kx+m

Börja med att beräkna gränsvärdet f(x)/x då x->oo, då får du k-värdet.

Därefter beräknar du gränsvärdet (f(x)-kx) då x->oo, då får du m-värdet.

Du har nu din asymptot.

Prova på a) och redovisa beräkningarna.

Jag har en annan metod

Gör om uttrycket för stora värden på x

Dvs $f (x) = \frac{x^{2}}{3 + x} \approx \frac{x^{2}}{x} d å x \to \infty d v s f (x) \approx x$

Vilket ger asymptoterna y=x samt x=-3

Motsvarande metod kan användas för b)-uppgiften

Om du kontrollerar med grafritande verktyg ser du att det stämmer

Det är fel. Den sneda asymptoten är y = x - 3.

Nedan är min uträkning enligt den första föreslagna metoden, vilken blev rätt. Vad jag däremot fortfarande inte förstår är varför det ibland funkar att bryta ut x-termer och få korrekt asymptot, men inte i dessa fall? Här är ett till exempel från boken där bokens facit uttryckligen säger att man ska bryta ut x- termen i nämnare och täljare, och räkna ut gränsvärdet för när X går mot oändligheten:

Y = (x²-1)/x

detta ger asymptoten y=x.

Det är denna metod facit hänvisar till i nästan varje uppgift. Vad är det som avgör huruvida denna metod fungerar eller inte? Hur kan jag veta det?

Henning skrev:
Jag har en annan metod

Gör om uttrycket för stora värden på x

Dvs $f (x) = \frac{x^{2}}{3 + x} \approx \frac{x^{2}}{x} d å x \to \infty d v s f (x) \approx x$

Vilket ger asymptoterna y=x samt x=-3

Motsvarande metod kan användas för b)-uppgiften

Om du kontrollerar med grafritande verktyg ser du att det stämmer

Ja, jag ser nu att min metod är alltför förenklad.

En bättre variant är att utföra en polynomdivision (se polynomdivision)

I a) får man då: $x^{2} \div (x + 3) = x - 3 + \frac{9}{x + 3}$

Här ser man att den sneda asymptoten blir f(x)=x-3
Kan även användas på ex b)

En funktion f(x) har asymptoten y = kx + m (då x går mot $\infty$ ) om vi kan skriva f(x) som

f(x) = kx + m + r(x),

där r(x) är en funktion som går mot 0 då x går mot $\infty$ .

I fallet y = f(x) = $\frac{(x^{2} - 1)}{x}$ så har vi att f(x) = x - 1/x. Här kan vi se att k = 1, m = 0 och r(x) = -1/x (en funktion som går mot noll då x går mot oändligheten).

Om vi tar fallet f(x) = $\frac{x^{2}}{x + 3}$ så kan vi använda polynomdivision för att skriva om f(x) och får

f(x) = $x - 3 + \frac{9}{x + 3}$ , så k = 1, m = -3 och r(x) = 9/(x+3).

Observera att du i detta fall inte kan hitta ett lämpligt r(x) så att f(x) = x + r(x), eftersom det skulle kräva att f(x) - x skulle gå mot noll då x går mot $\infty$ , och så är inte fallet.

Trinity2:s metod fungerar generellt. Polynomdivision brukar ofta fungera också.

elys skrev:
Nedan är min uträkning enligt den första föreslagna metoden, vilken blev rätt. Vad jag däremot fortfarande inte förstår är varför det ibland funkar att bryta ut x-termer och få korrekt asymptot, men inte i dessa fall? Här är ett till exempel från boken där bokens facit uttryckligen säger att man ska bryta ut x- termen i nämnare och täljare, och räkna ut gränsvärdet för när X går mot oändligheten:

Y = (x²-1)/x

detta ger asymptoten y=x.

Det är denna metod facit hänvisar till i nästan varje uppgift. Vad är det som avgör huruvida denna metod fungerar eller inte? Hur kan jag veta det?

Gör alltid på detta sätt så kommer det att gå bra. Detta är det sätt som lärs ut i Analys 1 vid svenska universitet och högskolor. Vad din bok säger verkar vara, om inte fel, så i alla fall inte optimalt.

När det gäller att beräkna själva gränsvärdet bryter man alltid ut den dominerande faktorn i täljare och nämnare, och det har du gjort ovan, så det behärskar du bra.

Gör dessa uppgifter enligt bilden ovan så blir det rätt.

Tack för er hjälp, nu förstår jag uppgiften!

intressant

Svara

Visa senaste svar